ซตพ.(ซึ่งต้องพิสูจน์)
posted on 03 Apr 2008 17:10 by watchi in appliED-Mathหลังจากรวบรวมความบ้าพลังได้ ก็นึกขึ้นได้ว่า มีเรื่องเกี่ยวกับคณิตแสดดดอยู่เรื่องนึง ที่ตั้งใจว่าจะอึ๊บมาตั้งนานแล้ว แต่ยังไม่ได้อึ๊บซักที(ด้วยความอู้ว แล้วขี้ค้านอย่างแฮง)
เรื่องที่ว่านี้เป็นเบสิคสำคัญสำหรับคนเรียนคณิตแสดดดกันเลยทีเดียว ... คิดไปคิดมา มันได้ใช้อยู่บ่อยๆ งั้นขอเปลี่ยนเป็นพูดว่า "เรื่องที่ว่านี้เป็นเบสิคสำคัญสำหรับคนเรียนคณิตแสดดดกันเลยหลายที" (ป่อยๆๆ มุกห่วยๆ ถูกๆ มาแล้วจ้าาา 
)
ล่อมาซะสองย่อหน้า กำลังจะออกอ่าวตังเกี๋ยมุ่งสู่เกาะไหหลำ หำไหล อยู่แล้ว ... เพื่อไม่ให้น้ำท่วมทุ่งกุลาร้องไห้ไปมากกว่านี้ ....
ได-Ed จำใจสะเหร่อ ... "How to prove ... วิถีทางแห่งการปิ๊สูด สูด สูด สูด" (ให้เสียงภาษาคนโดยอัณฑะมิตร 
)
หมายเห็ด : สำหรับคนที่เกลียดคณิตแสดดดเข้าลำไส้ใหญ่ ขี้ทิ้งไว้ยังรู้ว่าเป็นขี้ของคนเกลี่ยดตัวเลข ... ลองทำใจอ่านสักพัก เผื่อว่าจะสามารถเอาไปประยุกต์ใช้ได้กับชีวิตประจำวันนะครับ 
ในชีวิต ประจำวันของคนเราต้องพบกับเรื่องที่เราต้องตัดสินใจอยู่ตลอดเวลา ถ้าเรามีกระบวนการในการตัดสินใจได้อย่างมีระบบ ระเบียบ และมีขั้นตอนในการพิสูจน์สิ่งที่เราต้องการจะทดสอบว่าจริงแท้แน่นอน ก็จะช่วยให้เราดำเนิน ตัดสินใจได้อย่างมั่นใจ และแม่นยำ
นักคณิตแสดดด เป็นมนุษย์ที่ไม่ค่อยจะเชื่ออะไรง่ายๆ ถ้าพวกเขาจะเชื่ออะไรแล้ว จะต้องมีเหตุผล และขั้นตอนการพิสูจน์ที่สมเหตุสมผลเข้ามารองรับ ยกตัวอย่างเช่น
- 1+1 = 2 ,
- 2x0 = 0 ,
- 3 - 3 = 0 ,
- 5/5 = 1 ... บลาๆๆ
หลายคนดูแล้ว อาจจะบอกว่า เฮ้ย นี่มันเลขระดับประถมนี่หว่า เอามาให้ดูทำกรวยไต ไส้ติ่ง ส้งติง อะไรวะ ... ลองจินตนาการดูนะครับว่า สมมติโลกนี้ ยังไม่รู้จักระบบตัวเลข ยังไม่รู้จักการบวก ลบ คูณ หาร แล้วนักคณิตแสดดดรุ่นแรกๆของโลก(ซึ่งไม่ใช่ รุ่น "มีกูไว้มึงไม่จน" แน่นอน 
) เขาสร้างระบบตัวเลข และระบบการ บวก ลบ คูณ หาร มากกว่า น้อยกว่า เท่ากับ ขึ้นมา เพื่อให้คนทั้งโลก เข้าใจในความหมายเป็นอันหนึ่งอันเดียวกันได้อย่างไร
นั่นก็เพราะ ระบบเหล่านี้ ได้รับการพิสูจน์มาเป็นอย่างดี นับร้อย นับพันปีแล้วว่า เป็นสิ่งที่เป็นจริง เชื่อถือได้ แม้ไม่ใช่ปูนตาเสือ(มุกห่วยๆ ถูกๆ มาอีกแล้วจ้าาา ) ... เราโชคดีเหลือหลาย ที่เกิดมาในยุคที่คนโบราณได้คิดระบบต่างๆ เตรียมไว้ให้เราเสร็จสรรพ ที่เหลือ ก็แค่หยิบเอาไปใช้งาน ... วันนี้ เราไม่ต้องมานั่งพิสูจน์ว่า ทำไม 1+1 = 2 เพราะเรามั่นใจแล้วว่า มันผ่านการพิสูจน์จนเป็นที่ยอมรับ บนระบบที่เราเข้าใจตรงกัน
แหมะ ไปๆมาๆ กลายเป็นขายยาไปซะเยอะเหมือนกัน 
เข้าเรื่องเลยดีกว่า (ที่บ่นมาจนน้ำลายฝอยฟูมปาก มันยังไม่เข้าเรื่องครับพี่น้อง - -") เราไปดูกันว่า ในเชิงคณิตแสดดด มีวิธีการพิสูจน์ ที่น่าสนใจ วิธีไหนบ้าง
1.straight forward(ตรงๆ ไม่อ้อมค้อม) : เว้ากันง่ายๆ ซื่อๆ แต่ทำค่อนข้างยาก ก็คือ เราต้องการพิสูจน์อะไร เราก็ใช้ข้อมูล และสิ่งที่เรามีอยู่ เอามาประกอบกันอย่างสมเหตุสมผล เพื่อให้ได้ข้อสรุปของสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ เช่น
จงพิสูจน์ว่า "ตดเหม็น" : สามารถพิสูจน์โดยstraight forwardได้ดังนี้
- ตด ออกทางรูตูด
- รูตูด มีไว้ขี้
- ขี้มีกลิ่นเหม็น เพราะ เกิดจากการทำงานของแบคทีเรียในลำไส้ใหญ่ (ในที่นี้ ให้ยอมรับว่า การทำงานของแบคทีเรียในลำไส้ใหญ่ เป็นทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ... อยากรู้ว่าเพราะอะไร ลองถามน้องหมอ ได้ครับ อ่าว โบ้ย - -")
- เมื่อตด ซึ่งเป็นลม ที่แหวกรูขี้ออกมา
- สรุปได้ว่า ตด จึงมีกลิ่นเหม็น
- แล้วทำไมไม่ลองตดออกมาดมดูล่ะ โอ๊ววว
จงพิสูจน์ว่า "จำนวนคี่ บวกจำนวนคี่ ได้จำนวนคู่" (ออกจากตด ก็มา คี่ T..T)
- จำนวนคี่ คือ จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
- จำนวนคู่้ คือ จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
- สมมติให้จำนวนคี่ตัวแรกคือ 2k1+1 และจำนวนคี่ตัวที่สองคือ 2k2+1 เมื่อ k1 , k2 เป็นจำนวนเต็มใดๆ
- เอามาบวกกันจะได้ 2k1+1+2k2+1 = 2(k1+k2)+2 = 2(k1+k2+1)
- เนื่้องจาก k1 , k2 ,1 เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น k1+k2+1 จึงเป็นจำนวนเต็ม(สมบัติปิดการบวกของจำนวนเต็ม) สรุปได้ว่า 2(k1+k2+1) เป็นจำนวนคู่
- ดังนั้น ผลบอกของจำนวนคี่สองจำนวน จึงเป็นจำนวนคู่ อู้ว อู้ว
2.contradiction (ขัดแย้ง) : สมมติว่า เรามีสิ่งนึงที่ต้องการพิสูจน์ เราก็สมมติในทางตรงกันข้ามซะ แล้วดูว่า ถ้าเราสมมติในทางตรงกันข้าม กับสิ่งที่มันควรจะเป็น มันจะเกิดสิ่งที่ขัดกับหลักความเป็นจริงว่าอย่างไรบ้าง
จงพิสูจน์ว่า "ตดเหม็น" : สามารถพิสูจน์โดย contradiction ได้ดังนี้
- ขั้นแรก ให้สมมติในสิ่งที่ตรงกันข้าม กับสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ก่อน นั่นคือ สมมติว่า "ตดหอม"
- เนื่องจากว่า ตดผ่านรูขี้ออกมา จึงสรุปได้ว่า ขี้ย่อมมีกลิ่นหอมหรือไม่มีกลิ่น (เพราะถ้าขี้มีกลิ่นเหม็น ถึงตดจะหอมเองของมัน แต่เมื่อมันผ่านรูขี้ออกมา มันก็เหม็นอยู่ดี)
- แต่เนื่องจากว่า เรารู้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้้ว่า เป็นไปไม่ได้ที่ขี้จะหอมหรือไม่มีกลิ่น อันเนื่องมาจาก การทำงานของแบคทีเรียในลำไส้ใหญ่
- ดังนั้น สิ่งที่เราสมมติว่า "ตดหอม" จึงเป็นไปไม่ได้ด้วยเหตุนี้แล
- ตดจำต้องเหม็นอยู่ต่อไป
จงพิสูจน์ว่า "a+1 > a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ"
- สมมติในทางตรงกันข้าม นั่นคือ a+1 <= a
- นำ a ไปลบ ทั้งสองข้าง ของอสมการจะได้ a+1-a <= a-a
- จะได้ว่า 1 <= 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
- ดังนั้น สิ่งที่เราสมมติไว้นั่นคือ a+1 <= a จึงไม่มีทางเป็นจริง
- ส่งผลให้ a+1 > a เป็นสัจนิรันดร์อมตะตลอดกาล(ยิ่งกว่ากดสูตรเกม คอนทร่า 30 ตัว Orz")
3.contra positive (ผกผวน) : ถ้าเราต้องการพิสูจน์ข้อความ ถ้า p แล้ว q ซึ่งในบางครั้ง พิสูจน์ตรงๆ พิสูจน์ยาก เราก็เปลี่ยนไปพิสูจน์ข้อความ ไม่q ถ้าแล้ว ไม่p แทน เพราะเรารู้ว่า สองข้อความนี้ ให้ค่าความจริงเหมือนกัน(สมมูลกัน)
จงพิสูจน์ว่า "ถ้ารักแล้วย่อมเคยคิดถึง"
- สเต็ปท์แรก เราก็เปลี่ยนข้อความที่จะพิสูจน์เป็น "ถ้าไม่เคยคิดถึงแล้วแสดงว่าไม่รัก"
- จากข้อมูล สำหรับคนที่เราไม่เคยคิดถึงเลย ย่อมแสดงว่า ไม่ใช่คนสำคัญของเราแน่ๆ
- คนที่เรารัก ย่อมเป็นคนสำคัญของเรา
- ดังนั้น คนที่เราไม่เคยคิดถึง จึงไม่ใช่คนที่เรารัก
- ทำให้ "ถ้ารักแล้วย่อมเคยคิดถึง" เป็นจริงจ้ะ ที่รัก
จงพิสูจน์ว่า "ถ้า 2a = 0 แล้ว a = 0"
- เราจะเปลี่ยนมาพิสูจน์ข้อความ "ถ้า a ไม่เท่ากับ 0 แล้ว 2a ไม่เท่ากับ 0" แทน
- เรามี a ไม่เท่ากับ 0
- คูณ 2 ทั้งสองข้าง ของอสมการ a ไม่เท่ากับ 0 จะได้ 2xa ไม่เท่ากับ 2x0 หรือ 2a ไม่เท่ากับ 0 นั่นเอง
- ดังนั้น เราสรุปได้ว่า "ถ้า a ไม่เท่ากับ 0 แล้ว 2a ไม่เท่ากับ 0" เป็นจริง
- ส่งผลให้ "ถ้า 2a = 0 แล้ว a = 0" เป็นจริงด้วย เนื่องมาจาก เป็นข้อความที่สมมูลกัน
4.Induction (อุปนัย) : อันนี้เป็นของเล่นสำหรับจำนวนเต็มโดยเฉพาะเลยครับ ... ทุกคนรู้จักโดมิโน่ ใช่ไหมครับ สมมติว่า โดมิโน่ตัวแรกล้ม ล้มต่อกันไปเรื่อยๆ แล้วเราก็มองข้ามช็อตไปที่ตัวไหนก็ไม่รู้ สุ่มมาซักตัวนึง ถ้าเราสุ่มมั่วๆมายังไงก็ช่าง ไอโดมิโน่้ตัวที่เราจิ้มนั้น ก็ล้ม แล้วตัวถัดจากตัวที่เราสุ่ม ก็ยังล้ม เราก็น่าจะอนุมานถวายแหวน ได้ว่า โดมิโน่ตัวสุดท้าย ก็น่าจะล้ม เช่นเดียวกัน
สมมติว่าเรามีประพจน์ P(n) อยู่ ถ้า
- P(k0) ซึ่งเป็นเสมือนตัวเริ่มต้นของโดมิโน่เป็นจริง
- ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริง สำหรับทุกๆ k แล้ว เราจะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกๆ n
จงพิสูจน์ว่า "ถ้าเราตักไอศครีมมาใส่ถ้วย เราจะได้ไอศครีมที่มากขึ้น เสมอ ณ เวลาที่ตัก"
- สมมติตอนนี้ เรามีไอศครีมอยู่ในถ้วย a ก้อน
- สมมติต่ออีกว่า เราตักไอศครีมเพิ่ม n ก้อน
- ดังนั้น เราต้องการพิสูจน์ว่า P(n) คือ a+n > a เมื่อ n เป็นจำนวนนับ(1, 2, 3, ...)
- โดมิโน่ตัวแรกของเราที่เราต้องตรวจสอบว่าเป็นตริงหรือไม่ นั่นก็คือ P(1)
- เพราะ 1 สมาชิกตัวแรกของจำนวนนับ
- เราจะได้ว่า P(1) คือ a+1 > a เป็นจริง(ดูได้จากตัวอย่างกรณี contradiction ข้างบนครับ)
- ต่อมา ให้สมมติว่า P(k) คือ a+k > a เป็นจริง
- เราต้องแสดงให้เห็นว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย
- จาก a+k > a ให้บวก 1 เข้าที่ด้านซ้ายมือของอสมการ
- จะได้ a+k+1 > a หรือ a+(k+1) > a เป็นจริง [อาศัยคุณสมบัติ A > B แล้ว A+1 > B]
- a+(k+1) > a คือ P(k+1) นั่นเอง
- สรุปได้ว่า P(k+1) เป็นจริง
- โดยวิธีอุปนัย สรุปได้ว่า a+n > a สำหรับทุกๆจำนวนนับ n
- ตักไอศครีมเพิ่ม ก็ย่อมมีไอศครีมมากกว่าเดิม ณ เวลาที่ตัก ด้วยเหตุฉะนี้แล
/โอ๊ซซซซ กว่าจะจบ อึ๊บซะหลายยก
เอ็นถี่ที่เกี่ยวข้อง : ทำไม "ไม่มีสมาชิกExteenที่พูดความจริงเลยซักคน" จึงเป็นเท็จ , มีสมาชิกวงK-OTICบางคน เป็นคนเขมร
หมายเห็ด : ส่วนหนึ่งของเอ็นถี่นี้ ขออุทิศแด่ "เพื่อนผู้ตดเป็นฝนเลือด" (สิมาบ่หว่า - -a)
หมายเห็ด : มีตัวอย่างนึง ของเอ็นถี่นี้ ที่จริงๆแล้ว ไม่สามารถนำมาเป็นตัวอย่างได้ด้วยประการทั้งปวง ทายซิ ตัวอย่างไหน ... ไปล่ะ เฟี้ยวววววว (แถวบ้านเรียกกวนตีนเทพครับ ทิ้งคำถามไว้แล้ววิ่งหนี)
ยิ่งข้อสอบแต่ละข้อ จงพิสูจน์ อะไรอย่างนี้
ให้มา ห้าข้อกับกระดาษห้าแผ่น
โอ้ยปวดกระบาลล
#1 By Under Constuctive Man on 2008-04-03 23:15