ได-Ed

จำนวนจริง (Real Number) คืออะไร?

จะให้ผมตอบคำถามนี้ได้อย่างถูกต้องถ่องแท้ ผมอาจจะต้องใช้เวลาทั้งชีวิต เพื่อศึกษาค้นคว้าก็ได้ ,,, ถ้าอย่างนั้น เราเริ่มจากตรงไหนดีเอ่ย?

เริ่มจากจำนวนนับดีไหม? ,,,, จำนวนนับมีอีกชื่อหนึ่งว่า "จำนวนธรรมชาติ" (Natural Number) หมายถึง จำนวนที่เริ่มจาก 1 จากนั้น ก็สร้างจำนวนถัดไป โดยนำ 1 ไปบวกเรื่อยๆ ,,, เราแทนจำนวนเหล่านี้ ด้วยเลข 1, 2, 3, 4, ....

เหตุที่เรียกว่าจำนวนธรรมชาตินั้น นั่นก็เพราะ ไม่ว่าคุณจะรู้จักคณิตศาสตร์รวมไปถึงระบบตัวเลขมากน้อยสักแค่ไหน จำนวนับ คือจำนวนที่คุณสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตัวเอง และเป็นจำนวนที่เห็นได้ชัดจากการสังเกตธรรมชาติ เช่น นก 1 ตัว, ต้นไม้ 2 ต้น, คน 3 คน

ในขณะเดียวกัน มนุษย์ก็ได้สร้างเลข 0 ขึ้นมา เพื่ออธิบายความไม่มีอยู่ หรือความว่างเปล่า เช่น ไม่มีนก ก็คือ นก 0 ตัว, ไม่มีต้นไม้ นั่นก็คือ ต้นไม้ 0 ต้น, ไม่มีคน นั่นก็คือ คน 0 คน

เลข 0 เป็นเลขที่ทรงฤทธานุภาพ อย่างร้ายกาจ ซึ่งแม้กระทั่งปัจจุบัน หลายๆอย่างที่เกี่ยวกับเลข 0 ก็ยังถูกละไว้ ในสิ่งที่ไม่ได้ถูกนิยาม หรือ อนิยาม

ยกตัวอย่างเช่น การหารจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน ผลลัพธ์ออกมาจะได้ 1 เสมอ ,,, ถ้าเรามีผลไม้ 3 ผล แบ่งให้เด็ก 3 คน เท่าๆกัน เด็ก แต่ละคน ก็จะได้ผลไม้คนละ 1 ผล เช่นเดียวกับ ถ้าเรามีผลไม้ 1 พัน ผล แบ่งให้กับเด็ก 1 พัน คน เท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้ผลไม้คนละ 1 ผล

รามาณุจัน นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เคยถามอาจารย์ของเขาว่า "ถ้าเรามีผลไม้ 0 ผล แบ่งให้เด็ก 0 คน เท่าๆกัน แต่ละคนจะยังคงได้ผลไม้คนละ 1 ผล อยู่อีกหรือไม่?"

เมื่อเรามีจำนวนที่น่าพิศวง อย่างเลข 0 รวมเข้ากับจำนวนนับ หรือ จำนวนธรรมชาติ แล้ว เราก็สามารถทำงานได้มากโข ทั้งในแง่ชีวิตประจำวัน อธิบายธรรมชาติหลายๆอย่าง รวมไปทั้งการทำมาค้าขาย

แต่ต่อมา เราก็พบว่า เพียงแค่ 0 และ จำนวนนับยังไม่พอ เพราะในความเป็นจริง เรายังคงต้องการจำนวนฝั่งลบ เพื่อใช้ในการอธิบายความถดถอยบางอย่าง เช่น การติดหนี้, การค้าขายที่ขาดทุน เป็นต้น

เมื่อมี จำนวนนับฝั่งบวก และฝั่งลบ รวมเข้ากับจำนวน 0 เราก็ได้สร้างระบบจำนวนเต็มขึ้น ,,, แต่ก็อีกนั่นแหละ ต่อมาเราก็พบอีกว่า ของในโลก ไม่ใช่สิ่งที่มีค่าเต็มหน่วย หรือเป็น 0 เสมอไป เช่น น้ำครึ่งแก้ว, แตงโมครึ่งใบ, ผ้ายาวเศษ3ส่วน4 วา รวมไปถึง อัตราส่วนอันมหัศจรรย์ในวิวัฒนาการทางวิศกรรมอันน่าทึงของชาวอียิปต์โบราณ

มนุษย์จึงได้รู้จักจำนวนที่เป็นเศษส่วน โดยการสร้างจากจำนวนเต็ม นั่นคือ เศษเป็นจำนวนเต็ม และส่วนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ ,,, เหตุที่ห้ามให้ส่วนเป็นศูนย์นั้น เพราะเราได้เล็งเห็นแล้วว่า การทำเช่นนั้น อาจจะทำลายระบบจำนวนให้ย่อยยับ แหลกเป็นผงธุลี ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเราต้องการแบ่งผลไม้ 3 ผล ให้เด็ก 0 คน เท่าๆกัน เราไม่อาจสรุปได้ว่า เราจะต้องแบ่งผลไม้ให้เด็ก คนละกี่ผลกันแน่ ,,, ด้วยเหตุนี้ เราจึงมองข้ามการนิยามการสร้างเศษส่วน อันมีส่วนเป็นศูนย์มาจนถึงปัจจุบัน

ด้วยเหตุที่ เราสามารถอธิบาย จำนวนที่ว่ามานี้ได้ด้วยเหตุและผล เราจึงขนานนามมันว่า จำนวนตรรกยะ (Rational Number)

เมื่อมีคำว่า "ได้" ก็ย่อมมีคำว่า "ไม่ได้" ,,, เช่นเดียวกัน ในเมื่อมีจำนวนที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม ที่ซึ่งส่วนไม่เป็นศูนย์ ได้ ก็ย่อมมี จำนวนที่ซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้

ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิโลน รู้จักค่าพาย รู้ว่ามันคืออัตราส่วนระหว่างความยาวรอบรูปหารด้วยความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ,,, แต่ก็ไม่มีใครที่สามารถเขียนค่าพาย ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีทศนิยมไม่รู้จบ ให้กลายเป็นเศษส่วนได้ มันคือจำนวนที่อยู่เหนือเหตุผลของจำนวนตรรกยะ

ต่อมา เมื่อวิชาแคลคูลัสได้ถูกสร้างขึ้น ความมหัศจรรย์ของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ก็ยิ่งเพิ่มพูนคูณทวีขึ้นไปอีก ยกตัวอย่างอันน่ามหัศจรรย์ตัวอย่างหนึ่ง กล่าวคือ

1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+.... = e

เราจะเห็นว่า อนุกรมนี้ แต่ละพจน์นั้น เป็นจำนวนเศษส่วน และเป็นจำนวนตรรกยะอย่างชัดเจน แต่เมื่อบวกกันไปจนถึงอนันต์ (Infinity) ผลบวกของอนุกรมนี้ กลับลู่เข้าสู่ ค่า e

e = 2.71828183......

e ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีทศนิยมไม่รู้จบ และแน่นอนว่า ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนตามครรลองของจำนวนตรรกยะได้

เหตุไฉน อนุกรมของจำนวนตรรกยะ จึงลู่เข้าสู่จำนวนซึ่งไม่ใช่จำนวนตรรกยะ?

นักคณิตศาสตร์ ได้เรียกปรากฏการณ์นี้ว่า จำนวนตรรกยะเป็นปริภูมิที่ไม่สมบูรณ์ ดังนั้น เพื่อสร้าง ปริภูมิที่สมบูรณ์ (Complete Space) นักคณิตศาสตร์จึงได้รวมเอาตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ซึ่งต่อมาเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) รวมเข้าไว้เป็นระบบกับจำนวนตรรกยะ แล้วเรียกระบบนี้เสียใหม่ว่า "จำนวนจริง" (Real Number) ซึ่งเป็นระบบที่ได้ชื่อว่า เป็น Complete Space ระบบหนึ่ง

หมายเห็ด : ในการนี้ ผมขออนุญาต ข้ามนิยามในเชิงคณิตศาสตร์วิเคราะห์ไป ทั้งนี้ อันเนื่องมาจากความเหมาะสม และเกิดจากความไม่ประสาในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ของตัวผมเอง

... ... ...

เราได้เรียนรู้อะไร จากจำนวนจริงอย่างนั้นหรือ?

มันคือ ความเป็นจริงที่มีอยู่แล้วตามธรรมชาติ!!!

นิรันดร์กาล, เหตุผลหรือตรรกะ (Rationality) จะถูกเติมเต็มให้สมบูรณ์ (Complete) ด้วยสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเหตุผล หรือความไม่เป็นเหตุผล เรียกว่า อตรรกะ (Irrationality) เฉกเช่น ,,,

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) ถูกเติมเต็มด้วยจำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) เราจึงได้มาซึ่งระบบของจำนวนจริง (Real Number) ซึ่งเป็นปริภูมิที่สมบูรณ์ (Complete Space)

นั่นคือ

เราจะไม่มีทางค้นพบความสมบูรณ์ โดยอาศัยตรรกะหรือความไร้ตรรกะอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว

หมายเห็ด : บทความนี้ เขียนแนวคิดส่วนตัว เอ็นทรี่หน้าจะกลับสู่ภาวะปกติครับ