ได-Ed : Coming of ed

ตอนนี้ผมกำลังงุ่นง่านเวิ่นเว้อครับ หลังจากอยู่กับงานวิทยานิพนธ์มาซักระยะหนึ่ง ,,,

ยังจำได้ไหมว่า งานวิทยานิพนธ์ของผมคืออะไร โอเค จำไม่ได้ไม่แปลก เพราะมันไม่ค่อยน่าจำ เอาเป็นว่า พูดสั้นๆขยันซอยได้ใจความได้ว่า "การปรับปรุงภาพวีดีโออุลตร้าซาวน์ด้วยแคลคูลัส" ,,, ไม่เข้าใจว่ามันทำยังไง ก็อย่าพึ่งใจร้อน ไว้ผมทำสำเร็จแล้วจะเอามาเล่าให้ฟังอีกที HA

เอาล่ะ ช่างหัวเผือกมัน นั่นมันเรื่องของอนาคต วันนี้เราจะคุยถึงเรื่องปัจจุบัน ,,, ปราชญ์ว่าไว้ หากจะแก้ปัญหา คุณก็ต้องเข้าใจปัญหาก่อน ฉันใดก็ฉันเพล ผมไม่มีทางปรับปรุงภาพอุลตร้าซาวน์ให้ดีขึ้นได้ หากไม่รู้ว่าปัญหาของอุลตร้าซาวน์คืออะไร ,,, ลองไปดูตัวอย่างภาพกัน 

โอ๊ววว คุณผู้ชมที่รักครับ นี่คือภาพอุลตร้าซาวน์ครับ ,,,  พูดกันแบบกำปั้นทุบดินซื่อๆ และดูด้วยตาเปล่า เราก็คงจะมองออกใช่ไหมครับ ว่าภาพอุลตร้าซาวน์มันไม่ชัด

การที่ภาพอุลตร้าซาวน์ไม่ชัด มันไม่ได้มาเพราะโชคช่วย แต่มันมีทฤษฎีทางสถิติและฟิสิกส์ที่รองรับเอาไว้อย่างเป็นวรรคเป็นเวรกันเลยทีเดียว ,,, โอเคล่ะ ตอนนี้อยากรู้กันรึยังครับ ว่า ทำไมภาพอุลตร้าซาวน์ถึงไม่ชัด

/อยากรู้ กดเลื่อนอ่านต่อ

/(กู)ไม่อยากรู้ กดปิด

ก่อนอื่น ขออกตัวไว้ก่อนว่า สิ่งที่ผมกำลังจะอธิบายนี้ เกี่ยวข้องกับ 2 สิ่งก็คือ สถิติ และฟิสิกส์ ซึ่งไม่ใช่สายวิชาที่ผมถนัด โดยเฉพาะฟิสิกส์ แดก D+ มา 2 ตัว ตอนปี 1 ครับท่าน ดังนั้น ถ้าเจอจุดบกพร่องของการอธิบาย กรุณาชี้แนะ และอัดให้ยับ ผมจะถือว่าเป็นวิทยาทานอันมีค่าในการทำวิทยานิพนธ์ของผมเป็นอย่างยิ่งยวด

เอาล่ะ เรามาเข้าใจหลักการทำงานของการสร้างภาพอุลตร้าซาวน์กันก่อน ,,, อุลตร้าแปลว่าเหนือ ซาวน์แปลว่าเสียง อุลต้าซาวน์ ก็คือ เหนือเสียง(ราชบัณฑิตยสภา ท่านบัญญัติไว้แบบนี้จริงๆนะเออ) เรียกง่ายๆว่าอุลตร้าโซนิก ,,,  ใช่แล้วครับ การทำงานของอุลตร้าซาวน์ก็คือ การยิงคลื่นอุลตร้าโซนิกที่มีความถี่สูงกว่าคลื่นเสียง(แน่นอนว่า ถี่เกินกว่าเราจะได้ยิน หรือได้ยินน้อยมาก) เข้าไปในพุงของเรานั่นแหละ โดยคุณสมบัติของคลื่นนั้น เมื่อกระทบเจอวัตถุที่มีความตื้นลึกหนาบางไม่เท่ากัน ก็จะสะท้อนออกมาในลักษณะต่างกัน ตรงนี้ เครื่องก็จะจับสัญญาณสะท้อนที่ต่างกัน และแปลสัญญาณออกมาเป็นภาพให้เราเห็นกัน

แต่อนิจจา บุญมีแต่กรรมแขก เอ้ย กรรมบัง(อู๊ยยย กล้าเล่น ) คุณสมบัติของคลื่นอุลตร้าโซนิกก็คล้ายๆกับคลื่นแสงนั่นก็คือ เมื่อกระทบเจอวัตถุที่มีผิวไม่เรียบ มันจะทำให้เกิดปรากฏการณ์ที่เรียกว่า การกระเจิง ,,, ด้วยเหตุนี้ แทนที่ตอนมันสะท้อนกลับมา แทนที่จะมีแต่สัญญาณสะท้อนจากสิ่งที่เราต้องการดูอย่างเดียว มันดันมีสัญญาณรบกวนที่เกิดจากการกระเจิงด้วยนะสิ

เมื่อคลืนสัญญาณสะท้อน ปะทะกับคลื่นที่มันกระเจิงออกมา มันจะทำให้เกิดสิ่งที่นักฟิสิกส์เรียกว่า coherence และ incoherence,,, โอเค ไม่เข้าใจชั่งมัน ไม้ตายคือ ไปดูภาพปลากรอบ

ภาพแรกและภาพที่สอง คือ คลื่นแบบ coherence ซึ่งสังเกตว่าคลื่นจะมีความเหลื่อมกันด้วยค่าคงที่ ซึ่งถ้ามันตรงกันพอดี ก็จะเกิดการเสริมกัน เอามาบวกกันก็จะได้คลื่นที่สูงขึ้น แต่ถ้าเหลื่อมกันด้วยระยะ พาย เรเดียน แบบรูปที่สอง ก็จะเกิดการหักล้างกัน กลายเป็น 0 หมด

ส่วนรูปที่สาม คือ คลื่นแบบ incoherence อันนี้ เป็นคลื่นแบบอาการสับสนทางเพศครับ คือมันไม่รู้จะเอาไงกับชีวิตกันแน่ ,,, กลุ่มของคลื่นจะห่างกันด้วยระยะแบบสุ่ม นั่นคือ เอาแน่เอานอนไม่ได้ คลื่นที่ได้ ก็จะเป็นคลื่นน้อยๆ กระจุ๋มกระจิ๋มแบบผลลัพธ์นั่นแล

โอเค กลับมาที่อุลตร้าซาวน์ ชวดดด!!! ของเรากันต่อ ,,, เวรกรรมมันยังไม่หมดเท่านั้นครับ ,,, การสร้างภาพอุลตร้าซาวน์นั้น เป็นการสร้างภาพแบบ coherent imaging ซึ่งข้อเสียหลักของภาพแบบนี้ ก็คือ จุดๆ ที่เรียกว่า speckle (ภาพอุลตร้าซาวน์ไม่ชัดเพราะเจ้าสิ่งนี้แหละ) ,,, ตัวภาพที่เราเห็นเป็นรูปเป็นร่างเด็กทารก หรือเครื่องใน เซี่ยงจี๊นั้น คือส่วนที่เป็น coherence นั่นก็คือ ถ้าไม่ขาว(ส่วนที่คลื่นเสริมกัน) ก็ดำ(สว่นที่คลื่นหักล้างกัน) ,,, แต่เราจะเห็นว่ามันมีจุดที่เทาๆ เอาแน่เอานอนกับมันไม่ได้ว่า เอ๊ะ! มึงจะขาว หรือดำกันแน่ ซึ่งส่วนนี้แหละ เรียกว่า speckle โดยเกิดจากการที่คลื่นเป็นแบบ incoherence

ทีนี้ เราจะมาสรุปคร่าวๆก่อนนะครับ

1.การที่คลื่นเกิดการ incoherence ทำให้เกิด speckle noise

2.การที่ phase ของคลื่นแบบ incoherence เป็นแบบสุ่มนั้น มันยังผลให้ผมต้องอธิบายสิ่งต่อไปนี้ ,,,

การที่คลื่นเกิดการกระเจิง และการทับซ้อนกัน ทำให้ phase เป็นไปแบบสุ่ม สามารถอธิบายได้ด้วยตัวแบบทางสถิติที่เรียกว่า Rayleigh Distribution จ้ะ

ตอนแรกสารภาพว่า งงชิบหายตายห่า เกิดมาจากครรภ์มารดาไม่เคยได้ยิน ,,, แต่พอไปตามสืบมาแล้ว และปลุกปล้ำกับมันอยู่นาน ก็ได้รู้ว่า มันก็คือ การแจกแจง แบบปกติ (normal distribution) แต่เป็น ในรูปแบบ 2 มิติ โดยมีเงื่อนไขบางอย่างซึ่งจะขออธิบายต่อไป

ถ้าผมพูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็น หลายคนก็คงงงเต๊กแน่นอน เอาล่ะ ไม่ว่าคุณจะเรียนอยู่ระดับชั้นไหน หรือ เรียนสาขาอะไร ทิ้งความเชื่อเดิมๆที่ว่า ชั้นไม่มีทางรู้เรื่องเหล่านี้ไว้ที่โถส้วมสักครู่ก่อน แล้วค่อยๆมาทำความเข้าใจกับมันสักแป๊บ สองแป๊บ

การแจกแจงความน่าจะเป็นคืออะไรหนอ?

ก่อนอื่น ผมขอให้ทุกคน ที่ยังไม่รู้ว่าความน่าจะเป็นคืออะไร กลับไปอ่านเอ็นทรี่ ผ่าสูตรเลขเด็ด สูตรม้วนปฐพี ซักกะนิดโหย๋ว์ ชิทโหย๋ว์ แล้วจะทำให้เข้าใจมากขึ้น

ทีนี้ ลองมาดูเหตุการณ์สมมติของผมนะครับ ,,,

สมมติว่า ผมมีเหรียญอยู่ 2 เหรียญ ถ้าผมโยนเหรียญแบบสุ่มๆ ผลที่ได้ออกมา แน่นอนครับว่า น้องๆมัธยมก็ตอบได้ว่ามี 4 รูปแบบ ดังต่อไปนี้ {หห, หก, กห, กก} , เมื่อ ห = หัว และ ก = ก้อย

ทีนี้ มนุษย์เรา ชอบที่จะแทนอะไรด้วยตัวเลขน่ะสิครับ เพราะว่ามันง่าย ที่จะจัดการ ,,, ลองดูตัวอย่างที่ผมยกมาก็ได้ ,,, คุณจัดการกับเลข 0, 1 หรือ 2 มันก็ย่อมจะจัดการได้ชินมือมากกว่าจะเล่นกับ สัญลักษณ์ หห หก กห(กำเหา ) หรือ กก ใช่ไหมล่ะครับ

เราก็เลยสร้างความสัมพันธ์ ระหว่าง ผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมด(เรียกเท่ๆว่า แซมเปิล สเปซ) กับตัวเลข เช่น ถ้าผมสนใจจำนวนเหรีญที่ออกหัว โดยสร้างฟังก์ชั่น X(s) = จำนวนเหรียญที่ออกหัว และ s ก็คือ สมาชิกของแซมเปิลสเปซ เราก็จะได้ ค่าของฟังก์ชัน X(s) ดังนี้

- X(หห) = 2 (ออกหัว 2 เหรียญ)

- X(หก) = 1 (ออกหัว 1 เหรียญ)

- X(กห) = 1 (ออกหัว 1 เหรียญ)

- X(กก) = 0 (ออกหัว 0 เหรียญ)

โดยที่เรา จะเรียก ฟังก์ชั่น X เท่ๆว่า ตัวแปรสุ่ม(random vaiable) ,,, จากตัวอย่างข้างบน ค่าของตัวแปรสุ่มเป็นตัวเลขออกมา ชัดๆ เน้นๆ คือ 0, 1, 2 อย่างนี้ เราเรียกว่า discrete random variable แต่ถ้าแซมเปิลสเปซจำนวนแบบต่อเนื่อง เช่น เป็นเวลา หรือระยะทาง เราจะเรียกว่า continuous random variable

ปัญหาต่อมาก็คือ เมื่อเราได้ตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นตัวเลขออกมาแล้ว ถ้าเราสนใจความน่าจะเป็นของมันล่ะ เช่น จากตัวอย่างข้างบน ถ้าผมสนใจความน่าจะเป็นที่ โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง แล้วความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัว มีดังนี้

- ออกหัว 2 เหรียญ = P(X = 2) = 1/4 (หห)

- ออกหัว 1 เหรียญ = P(X = 1) = 2/4 (หก และ กห)

- ออกหัว 0 เหรียญ = P(X = 0) = 1/4 (กก)

โดยที่เรา เรียก ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนี้ว่า ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น!!! (แฮ่กๆ อธิบายได้ซะที)

แน่นอนครับว่า ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น มาจากการที่เราหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแต่ละตัว และเนื่องด้วยมันก็คือความน่าจะเป็น ดังนั้นค่าของฟังก์ชันการแจกแจง ก็จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ด้วยคุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ทีนี้ ผมอยากจะทุบโต๊ะ แล้วพูดเสียงดังๆให้ท่านที่กำลังอ่านจำไว้อย่างหนึ่งว่า ผลรวมของค่าของฟังก์ชันการแจกแจง ถ้ามันเป็น แบบ discrete นั้น มันง่ายมาก เพราะมันเป็นตัวเลขให้เราอยู่แล้ว ที่เหลือก็แค่เอามา บวกกัน ,,, แต่ถ้ามันเป็นแบบ continuous นั้น เราจะต้องเปลี่ยนจากผลบวกเป็นการอินทิเกรตครับ เพราะเราไม่สามารถบวกค่าบนเส้นจำนวน เช่น [0, 1] ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นของฟังก์ชันการแจกแจงแบบ continuous ก็คือ การอิืนทิเกรต หรือการหาพื้นที่ไใจ้กราฟนั่นเอง

/ใกล้ ละ อดทนนิสนุง 

ในชีวิตจริง บางที สิ่งที่เราสนใจ อาจจะไม่ใช่สิ่งเดียวโดดๆก็ได้ เช่น ถ้าเรากำลังสำรวจความสูงและน้ำหนักของประชากร โดยสนใจที่ ส่วนสูงและน้ำหนักของผู้ที่ถูกสำรวจ แน่นอนครับว่า ข้อมูลของเรา ไม่ใช่แค่ น้ำหนัก หรือส่วนสูงอย่างใดอย่างหนึ่งแน่ๆ ,,, แต่ข้อมูลของเรา จะมาอยู่ในรูปแบบของคู่อันดับ (ส่วนสูง, น้ำหนัก) เช่น ถาม ข้อมูลของ ผม สูง 170 หนัก 57 ข้อมูลของผมก็จะเป็น (170, 57) บลาๆๆ

ดังนั้น ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นจึงไม่ได้จำกัดอยู่แ่ที่ 1 มิติ มันจะเป็นกี่มิติก็ได้ ตราบที่เราต้องการให้มันเป็น

โอเค ปูพื้นให้แน่นแล้ว เราก็กลับเข้ามาที่ normal distribution หรือ การแจกแจงแบบปกติ กันสักหน่้อย ,,, หลายคนคงจะคุ้นหูคุ้นตากันมาพอสมควร แต่ถ้าจำไม่ได้ ผมก็จะทวนความจำให้ว่า ก็อีความน่าจะเป็นแบบระฆังคว่ำตอนเรียนใน ม.ปลายนั่นแหละครับ โอเคตอนนี้ทุกคนำได้หมดแล้วนะครับ ,,, คำถาม คือ ทำไมต้องเป็นการแจกแจงแบบปกติ?

คำตอบก็คือ

1.ในการทดลองโดยทั่วไป ผลการทดลองมักเป็นการแจกแจงแบบปกติ

2.ถึงมันไม่ปกติ เราก็ทำให้มันปกติได้ (แถวบ้านเรียกว่าหักคอครับ)

3.การแจกแจงที่มีความซับซ้อนมากๆ เราสามารถจัดรูปให้อยู่ในรูปการแจกแจงแบบปกติได้

การแจกแจงแบบปกติ จึงมีความสำคัญกับกระบวนการทดลองทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งผู้ที่คิดค้นนั้น เป็นนักคณิตแสดดด ชาวเยอรมนีสิกขา ปะทังสมาติยามิ นามว่า คาร์ล เฟดริกซ์ เกาส์

พูดมาตั้งนาน หลายคนคงเริ่มอยากรู้จักฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปกติแล้วว่ามันเป็นอย่างไร งั้นเราไปชมกัน

คือ ค่าเฉลี่ย และ คือค่าความแปรปรวน และ x เป็นจำนวนจริง

เห็นฟังก์ชันแล้วก็ไม่ต้องตกใจ (ที่ผมหยิบเอาสมการมาแสดงทีหลัง เพราะกลัวมีคนตกใจสมการแล้วรีบปิดหนีไปซะก่อน) ,,, คนที่เห็นแล้วงง ก็ไม่ต้องคิดมากครับ เรื่องนี้ จะเข้าใจถ่องแท้ ก็ต้องใช้เวลานิดนึง แต่ถ้าไม่อยากซีเรียสมาก ก็ทำเป็นแกล้งๆไม่เห็นมันไปก็ได้

ทีนี้ จำได้ไหมครับ ที่ผมบอกไว้ว่า บางทีข้อมูล อาจไม่ใช่จำนวนตัวเลขเสมอไป จากฟงัก์ชันข้างบน ผมหาความน่าจะเป็นได้เฉพาะในกรณีที่ x เป็นจำนวนจริง หรือพูดแบบง่ายๆ ก็คือ ตัวเลขเท่านั้น แต่ถ้าผมต้องการหาความน่าจะเป็นในรูปแบบ 2 มิติล่ะ ผมจะทำยังไง

WHY SO SERIOUS?

ท่านลอร์ด Rayleigh นักฟิสิกส์(รางวัลโนเบล ปี 1904) ได้คิดไว้ให้เราแล้ว โดยมีเงื่อนไขที่ว่า ถ้าเรามีคู่อันดับ (x, y) ซึ่ง 

1. x และ  y มีการแจกแจงแบบปกติ

2. x และ y มีค่าความแปรปรวนเท่ากัน

3. x และ y เป็นอิสระต่อกัน (นั่นก็คือ ความน่าจะเป็นของ x กับ y ไม่เกี่ยวข้องกัน)

เราจะได้ความน่าจะเป็นของ (x, y) ดังนี้

เมื่อ r คือรากที่ 2 ของ x²+y² และ s ได้มาจาก ค่าความแปรปรวน(ซึ่งx กับ y เท่ากัน)

เราเรียกฟังก์ชันการแจกแจงข้างบนเพื่อให้เกียรติ ท่านลอร์ด Rayleigh ว่า การแจกแจงแบบRayleigh หรือ Rayleigh Distribution ,,, โอ้ซซซซซซซซซ

นักฟิสิกส์นี่เก่งมากเลยครับ เขานำค่าความถี่คลื่นไปเขียนบนแฟนภูมิของจำนวนเชิงซ้อน โดยเปรียบเทียบคลื่น coherence ที่มี phase แบบสุ่ม แต่ละตัว เหมือนกับ จำนวนเชิงซ้อนจำนวนนึง มันจะเกิดอะไรขึ้น?

นักฟิสิกส์เชิงสถิติ พิสูจน์ได้ว่า ถ้าเราสนใจ ส่วนจริง(r) และส่วนจินตภาพ(i) ของคลื่นแบบ incoherence ซึ่งมี phase แบบสุ่ม และนำมาเขียนเป็นคู่อันดับ (r, i) แล้ว ,,, ผ่าม  พาม พ้าม ส่วนจริง และส่วนจินตภาพ ของคลื่นในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อนนี้ ตรงตามเงื่อนไขทั้งสาม ของ  Rayleigh Distribution เด๊ะๆ

ด้วยเหตุนี้ ถ้าเราต้องการที่จะอธิบาย การเกิด noise หรือ อธิบายว่า ทำไมภาพอุลตร้าวาวน์ไม่ชัด เราก็ต้องอธิบายผ่านทาง Rayleigh Distribution ด้วยเหตุนี้แลฯ

เอวังฯ

,,, ,,, ,,,

หมายเห็ด : เนื้อหาทั้งหมดนี้ ในวิทยานิพนธ์ของผม(ซึ่งผมกำลังซึกษาอยู่ในส่วนนี้) ผมซัดไปเกือบ 30 หน้า ,,, จึงไม่แปลก เมื่อการที่ผมเอามาอัดอยู่ในเอ็นถี่นี้ จึงข้ามรายละเอียดหลายๆอย่างไป และทำให้หลายๆท่านงง อย่างที่ออกตัวไปก่อนหน้าก็คือ ผมเองก็ใช่ว่าจะชำนาญในสถิติและฟิสิกส์ ,,, ถ้าสนใจสอบถามเพิ่มเติมไว้ในความคิดถึงเลยครับ ผมยินดีจะตอบทุกคำถาม 

THANKS :

http://gallery.hd.org 

http://mathworld.wolfram.com/

http://en.wikipedia.org/wiki/Wiki 

http://dukemil.egr.duke.edu