ปัญหาซอกดากส์ และซากอ้อย อันนึงของคนสอนคณิตแสดดดก็คือ เรื่องพื้นฐานของเด็กครับ ,,, เด็กแต่ละคนมีพื้นฐานด้านคณิตแสดดดที่แตกต่างกันออกไป ทำให้บางครั้ง เราต้องกัดฟันปูพื้นฐานเหล่านั้นให้เสียใหม่(ไม่งั้น เด็กก็จะไม่รอด) ,,, ซึ่งมันเป็นอะไรที่ทรมานมาก ผมจะยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าผมกำลังสอนเนื้อหาวิชาแคลคูลัส เรื่อง การประยุกต์อนุพันธ์ แต่เจอน้องแก้สมการไม่ได้ บวกลบคูณหารเลขเศษส่วนไม่เป็น หรือมีความเชื่อบางอย่างผิดๆ อย่างนี้คนสอนก็แทบจะหงายเงิบเลยครับคุณผู้ชม ,,, แต่จะทำไงได้ล่ะ ถ้าเลือกได้ ก็คงไม่มีใครอยากจะผิดกัน ดังนั้นวันนี้ ผมจะขอยกตัวอย่าง การคำนวณง่ายๆ แต่ยังมีหลายคนที่เข้าใจผิดๆอยู่ มาให้ได้ดูกัน ซึ่งเชื่อเต็มตีนก๋งเลยว่า หลายๆคน จะต้องได้ใช้ประโยชน์เป็นอย่างแน่แท้ดวงแดเอ๋ย

1. 0/0 = 1

อันนี้มาจากการท่องจำสูตรมาแบบไม่ครบครับ ,,, นั่นก็คือ น้องๆที่ผิดเคสนี้ มักจะท่องว่า จำนวนใดหารตัวมันเองผลลัพธ์ได้เท่ากับ 1 ,,, โอเคครับ น้องถูก แต่ถูกคร่งเดียว เพราะข้อแม้มันมีอยู่ว่า จำนวนนั้นจะต้องไม่เท่ากับ 0 เพราะ ถ้ามันเท่ากับ 0 แล้ว เราจะได้ว่า 0/0 เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด (นั่นคือ ยังไม่ตกลงกันว่ามันควรจะมีค่าเท่าไหร่) ที่ซึ่งครูมัธยมฯ มักจะบอกเราว่า หาค่าไม่ได้ (แต่ที่ถูกต้องบอกว่า เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด) ,,, เรื่องนี้อธิบายได้ง่ายๆ ด้วยนิทานต่อไปนี้ : สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 3 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 3 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด ,  สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 100 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 100 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด ดังนั้น สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ x เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก x คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด แต่มีข้อแม้ว่า x ต้องไม่เท่ากับ 0 เพราะอะไร? ลองคิดดูสิครับว่า สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 0 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 0 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ดอย่างนั้นหรือ? ไม่ใช่แน่ๆ ทีนี้ พอจะมองออกแล้วใช่ไหมครับว่า 0/0 ไม่เท่ากับ 1

2. a/0 = 0

อันนี้จะคล้ายๆข้อที่แล้วครับ นั่นคือ ปัญหาของการหารด้วย 0 เหมือนกัน แต่คราวนี้เป็นการจำสูตรผิดครับ เพราะดันไปจำสูตรสลับกับสูตรที่ว่า อะไรคูณ 0 ก็ย่อมได้ 0 ,,, พอมาเปลี่ยนเป็น หารปุ๊บ ก็เลยไปสร้างทฤษฎีขึ้นมาใหม่เป็น a/0 = 0 ใช้เอง และผิดเอง ซึ่งตามจริงแล้ว การหารด้วยศูนย์เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนดดังที่ผมอธิบายไว้กรณีที่ 1 แล้ว ,,, ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊อยู่ 10 เม็ด แบ่งให้คน 5 คนเท่าๆกัน  แต่ละคนก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊ 10/5 = 2 เม็ด , ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊อยู่ 10 เม็ด แบ่งให้คน 2 คนเท่าๆกัน  แต่ละคนก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊ 10/2 = 5 เม็ด ,,, แต่จะเกิดอะไรขึ้น ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 10 เม็ด และต้องแบ่งให้เด็ก 0 คน คนละเท่าๆกัน? ,,, เห็นรึยังครับว่า การหารด้วยเลข 0 นั้น มันมีความผันผวนกำกวมหยั่งแรง ที่อาจจะทำลายระบบพีชคณิตจนสิ้นซากไม่มีชิ้นดี ดังนั้น จึงถือว่า การหารด้วย 0 เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด

3. 00= 1

ผู้ป่วยในเคสนี้ เหมือนกับเคสแรกเด๊ะๆ นั่นคือ จำสูตรมาไม่หมด นั่นก็คือ จำแค่ว่า จำนวนใดไปยกกำลังศูนย์ผลลัพธ์ได้เท่ากับ 1 เช่นกันครับ สูตรนี้ถูก แต่ข้อแม้ของมันก็คือ จำนวนนั้นต้องไม่เท่ากับ 0 เอาล่ะ เราไปไขปริศนาเล็กข้อนี้กัน

อย่างแรก ผมจะพิสูจน์ให้ดูว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 แล้ว a0 = 1 ได้อย่างไร

  • a0 ax-x  (x-x = 0)
  • ax-x= ax/a (เนื่องจากคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง ถ้าเลขชี้กำลังลบกัน หมายถึงการหารด้วยเลขฐานเดียวกัน)
  • ax/ax = 1  (จากคุณสมบัติที่ว่า จำนวนใดหารตัวมันเองย่อมได้เท่ากับ 1 และ a ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น เราจึงมั่นใจได้ว่า ax ไม่เป็น 0)

ทีนี้ จะเกิดอะไรขึ้น ถ้าผมเปลี่ยน a เป็น 0 ,,, ง่ายมากครับ ลอกการพิสูจน์ข้างบนมาทั้งยวงเลย

  • 00 0x-x  (x-x = 0)
  • 0x-x= 0x/0 (เนื่องจากคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง ถ้าเลขชี้กำลังลบกัน หมายถึงการหารด้วยเลขฐานเดียวกัน)
  • 0x/0x = 0/0  (ตรงนี้ เจ๊งทันทีครับ เพราะเรารู้แล้วว่า 0/0 ไม่เท่ากับ 1 แต่เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด)

ตอนนี้ เราก็คงเห็นแล้วใช่ไหมครับว่า ทำไม 00= 1 จึงผิดไปเต็มๆดอก

4. am/n = (am)1/n

ปัญหานี้ จริงๆแล้วก็ต้องอาศัยการสังเกตอยู่เหมือนกัน เชื่อว่าหลายคน ตอนนี้ก็คงจะงงว่ามันผิดตรงไหน เพราะสูตรที่ผมแปะไว้ มันก็ตามคุณสมบัติที่เราท่องกันเป็นนกแก้วนกขุนทองร้องวู้ว์ เลขยกกำลังซ้อนกัน ให้เอาเลขชี้กำลังมาคูณกัน ใช่ไหมล่ะครับ แต่เราลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้นะครับ ว่ามันผิดตรงไหน