ได-Ed : Coming of ed

ปัญหาซอกดากส์ และซากอ้อย อันนึงของคนสอนคณิตแสดดดก็คือ เรื่องพื้นฐานของเด็กครับ ,,, เด็กแต่ละคนมีพื้นฐานด้านคณิตแสดดดที่แตกต่างกันออกไป ทำให้บางครั้ง เราต้องกัดฟันปูพื้นฐานเหล่านั้นให้เสียใหม่(ไม่งั้น เด็กก็จะไม่รอด) ,,, ซึ่งมันเป็นอะไรที่ทรมานมาก ผมจะยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าผมกำลังสอนเนื้อหาวิชาแคลคูลัส เรื่อง การประยุกต์อนุพันธ์ แต่เจอน้องแก้สมการไม่ได้ บวกลบคูณหารเลขเศษส่วนไม่เป็น หรือมีความเชื่อบางอย่างผิดๆ อย่างนี้คนสอนก็แทบจะหงายเงิบเลยครับคุณผู้ชม ,,, แต่จะทำไงได้ล่ะ ถ้าเลือกได้ ก็คงไม่มีใครอยากจะผิดกัน ดังนั้นวันนี้ ผมจะขอยกตัวอย่าง การคำนวณง่ายๆ แต่ยังมีหลายคนที่เข้าใจผิดๆอยู่ มาให้ได้ดูกัน ซึ่งเชื่อเต็มตีนก๋งเลยว่า หลายๆคน จะต้องได้ใช้ประโยชน์เป็นอย่างแน่แท้ดวงแดเอ๋ย

1. 0/0 = 1

อันนี้มาจากการท่องจำสูตรมาแบบไม่ครบครับ ,,, นั่นก็คือ น้องๆที่ผิดเคสนี้ มักจะท่องว่า จำนวนใดหารตัวมันเองผลลัพธ์ได้เท่ากับ 1 ,,, โอเคครับ น้องถูก แต่ถูกคร่งเดียว เพราะข้อแม้มันมีอยู่ว่า จำนวนนั้นจะต้องไม่เท่ากับ 0 เพราะ ถ้ามันเท่ากับ 0 แล้ว เราจะได้ว่า 0/0 เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด (นั่นคือ ยังไม่ตกลงกันว่ามันควรจะมีค่าเท่าไหร่) ที่ซึ่งครูมัธยมฯ มักจะบอกเราว่า หาค่าไม่ได้ (แต่ที่ถูกต้องบอกว่า เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด) ,,, เรื่องนี้อธิบายได้ง่ายๆ ด้วยนิทานต่อไปนี้ : สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 3 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 3 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด ,  สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 100 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 100 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด ดังนั้น สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ x เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก x คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ด แต่มีข้อแม้ว่า x ต้องไม่เท่ากับ 0 เพราะอะไร? ลองคิดดูสิครับว่า สมมติผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 0 เม็ด ผมแบ่งให้เด็ก 0 คน คนละเท่าๆกัน เด็กแต่ละคน ก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊คนละ 1 เม็ดอย่างนั้นหรือ? ไม่ใช่แน่ๆ ทีนี้ พอจะมองออกแล้วใช่ไหมครับว่า 0/0 ไม่เท่ากับ 1

2. a/0 = 0

อันนี้จะคล้ายๆข้อที่แล้วครับ นั่นคือ ปัญหาของการหารด้วย 0 เหมือนกัน แต่คราวนี้เป็นการจำสูตรผิดครับ เพราะดันไปจำสูตรสลับกับสูตรที่ว่า อะไรคูณ 0 ก็ย่อมได้ 0 ,,, พอมาเปลี่ยนเป็น หารปุ๊บ ก็เลยไปสร้างทฤษฎีขึ้นมาใหม่เป็น a/0 = 0 ใช้เอง และผิดเอง ซึ่งตามจริงแล้ว การหารด้วยศูนย์เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนดดังที่ผมอธิบายไว้กรณีที่ 1 แล้ว ,,, ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊อยู่ 10 เม็ด แบ่งให้คน 5 คนเท่าๆกัน  แต่ละคนก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊ 10/5 = 2 เม็ด , ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊อยู่ 10 เม็ด แบ่งให้คน 2 คนเท่าๆกัน  แต่ละคนก็จะได้เม็ดก๋วยจี๊ 10/2 = 5 เม็ด ,,, แต่จะเกิดอะไรขึ้น ถ้าผมมีเม็ดก๋วยจี๊ 10 เม็ด และต้องแบ่งให้เด็ก 0 คน คนละเท่าๆกัน? ,,, เห็นรึยังครับว่า การหารด้วยเลข 0 นั้น มันมีความผันผวนกำกวมหยั่งแรง ที่อาจจะทำลายระบบพีชคณิตจนสิ้นซากไม่มีชิ้นดี ดังนั้น จึงถือว่า การหารด้วย 0 เป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด

3. 0⁰= 1

ผู้ป่วยในเคสนี้ เหมือนกับเคสแรกเด๊ะๆ นั่นคือ จำสูตรมาไม่หมด นั่นก็คือ จำแค่ว่า จำนวนใดไปยกกำลังศูนย์ผลลัพธ์ได้เท่ากับ 1 เช่นกันครับ สูตรนี้ถูก แต่ข้อแม้ของมันก็คือ จำนวนนั้นต้องไม่เท่ากับ 0 เอาล่ะ เราไปไขปริศนาเล็กข้อนี้กัน

อย่างแรก ผมจะพิสูจน์ให้ดูว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 แล้ว a⁰ = 1 ได้อย่างไร

ทีนี้ จะเกิดอะไรขึ้น ถ้าผมเปลี่ยน a เป็น 0 ,,, ง่ายมากครับ ลอกการพิสูจน์ข้างบนมาทั้งยวงเลย

ตอนนี้ เราก็คงเห็นแล้วใช่ไหมครับว่า ทำไม 0⁰= 1 จึงผิดไปเต็มๆดอก

4. a^m/n = (a^m)^1/n

ปัญหานี้ จริงๆแล้วก็ต้องอาศัยการสังเกตอยู่เหมือนกัน เชื่อว่าหลายคน ตอนนี้ก็คงจะงงว่ามันผิดตรงไหน เพราะสูตรที่ผมแปะไว้ มันก็ตามคุณสมบัติที่เราท่องกันเป็นนกแก้วนกขุนทองร้องวู้ว์ เลขยกกำลังซ้อนกัน ให้เอาเลขชี้กำลังมาคูณกัน ใช่ไหมล่ะครับ แต่เราลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้นะครับ ว่ามันผิดตรงไหน

เกิดอะไรขึ้น?! ทำไม -1 เท่ากับ 1 ,,, จริงๆแล้ว ผมลักไก่ ตรงบรรทัดที่ 5. ครับ เพราะแทนที่ผมจะเอา กำลัง 2 เข้ามายกกำลัง -1 ในวงเล็บ ผมจะต้อง!! เอา 1/2 เข้ามายกกำลัง -1 ในวงเล็บ แล้วเตะ 2 ไปข้างนอกต่างหาก ดังนั้น ที่ถูก บรรทัดที่ 5 ควรเป็นอย่างนี้ครับ

ซึ่งจะเห็นได้ว่า (-1)^1/2 หมายถึง รากที่ 2 ของ -1 ซึ่งในระบบจำนวนจริงหาค่าไม่ได้ เพราะว่า รากที่เป็นจำนวนคู่ของจำนวนติดลบไม่มีในระบบจำนวนจริง (ยกตัวอย่างเช่น สแควร์รูท -1 หาค่าไม่ได้ในระบบจำนวนจริง) ,,, ในเมื่อมันหาค่าไม่ได้ตั้งแต่บรรทัดที่ 5 แล้ว ผมจึงไม่มีสิทธิแถต่อในบรรทัดที่ 6. และ 7. ดังนั้นการที่ผมไปเอาบรรทัดที่ 7. มาสรุป ก็ถือว่า ไม่สมเหตุสมผล เพราะมันเจ๊งมาตั้งแต่บรรทัดที่ 5. แล้วนั่นเอง

ดังนั้น เพื่อป้องกันในกรณีที่เราจะไปเจอแจ๊กพ็อต รากที่เป็นจำนวนคู่ของจำนวนติดลบ ,,, เวลาเราหาค่า  a^m/n เราจึงควรต้องหา a^1/n เสียก่อน(เพื่อกันเหนียวว่ามันค่าได้ในระบบจำนวนจริง) แล้วจากนั้น ค่อยเอาไปยกกำลัง m ทีหลัง ,,, โอเค้ย์

5.แก้สมการ ตูก็ย้ายตัวแปรไปคูณ

ลองดูตัวอย่างการแก้สมการต่อไปนี้นะครับ

แต่ลองเอา x = 0 กลับไปแทนในสมการบรรทัดแรกดูนะครับ จะเห็นว่า มันเกิดปรากฏการณ์ หารด้วย 0 ขึ้นทันที ,, การแก้สมการข้างบน ผิดพลาดตรงไหนครับ? ,,, คำตอบก็คือ ตอนที่เราย้าย x ไปคูณ อีกฝั่งนั้นแหละ เพราะการที่เราจะทำอย่างนั้นได้ เราจะต้องมั่นใจว่า ตัวที่เราย้ายไปคูณ ไม่ใช่ 0 ,,, พอมันติดตัวแปร x ซึ่งยังไม่ทราบค่า เราจึงไม่มีสิทธิย้ายไปคูณได้ เพราะมันอาจจะเป็น 0 ก็ได้ ,,, วิธีที่ถูกคือ ย้ายตัวเลข อีกฝั่ง มาหาตัวแปรซะให้หมด ดังนี้

หลายคนผิดกรณีนี้ เพราะว่า ไปจำความเคยชินของการย้ายไปคูณ เวลาเป็นตัวเลข ,,, จำไว้นะครับว่า เราย้ายไปคูณไปหารได้เฉพาะตอนที่เป็นตัวเลขเท่านั้น แต่ถ้าเป็นตัวแปรเมื่อไหร่ เราไม่มีสิทธิย้ายไปคูณหรือหารได้ เพราะตัวแปรที่เราย้าย อาจจะเป็น 0 ก็ได้

,,, ,,, ,,,

ของแถม : ย้ายไปคูณ ย้ายไปหาร ย้ายไปบวก ย้ายไปลบ ไม่มีอยู่จริง!!!

เวลาเราแก้สมการ หรือในการเรียนการสอน เรามักจะติดปากติดหู คำพูดที่ว่า ย้ายไปบลาๆๆ ซึ่งเป็นการพูดเพื่อให้มันเห็นภาพง่ายขึ้น แต่จริงๆแล้ว มันมีที่มาดังนี้

ก. ย้าย a ไปคูณ หมายถึง คูณ ด้วย a ทั้ง 2 ฝั่งของสมการ เช่น  

ค. ย้าย a ไปบวก หมายถึง บวกด้วย a ทั้ง 2 ฝั่งของสมการ เช่น

ง. ย้าย a ไปลบ หมายถึง บวกด้วย -a (หรือ ลบด้วย a) ทั้ง 2 ฝั่งของสมการ เช่น

,,, ,,, ,,,

ถามว่า การที่เราจำว่า ย้ายไปบลาๆๆ นี่ผิดหรือเปล่า ความจริงก็ไม่ใช่ความผิดร้ายแรงถึงขนาดส่งผลกระทบกับการคำนวณหรอกครับ เพราะในสถานการณ์จริง ผมเองก็ใช้คำว่าย้ายเหมือนกัน เพราะมันเป็นคำที่สื่อสารกับคนเรียนได้รู้เรื่องและตรงกัน ,,, แต่อย่าลืมว่า ของเหล่านี้ ในวันแรกที่เราเรียนเรื่องสมการตอนประถมศึกษานั้น เขาได้พูดไว้หมดแล้ว แต่พอเราได้รู้จักกับคำว่า ย้าย เราก็เลยลืมความหมายที่มาของมันไป

5ข้อข้างบนก็เช่นกันครับ, ประเด็นหลักๆก็คือ บางคนเอาแต่ท่อง เอาแต่จำ โดยไม่สนใจที่มาของมัน ,,, ยอมรับว่าการเรียนคณิตก็ต้องจำ แต่ในระหว่างการจำนั้น อะไรที่เป็นจุดน่าสังเกตเล็กๆนี่แหละ ที่คนส่วนใหญ่มักจะพลาดกัน และก็ไม่ได้คิดเอาไปต่อยอด

ยกตัวอย่างเช่น อาจารย์สอนเราว่า ห้ามหารด้วย 0 นะ เพราะมันจะหาค่าไม่ได้ ,,, คำถามก็คือ เราเคยสงสัยไหมครับว่า ทำไมเขาถึงห้ามหารด้วย 0 และถ้าฉันหารด้วย 0 อะไรจะเกิดขึ้น? ฟ้าจะถล่ม แผ่นดินจะทลาย หรือ คนไทยจะเลิกทะเลาะกันหรือเปล่า?

หลายคนอาจจะแย้งว่า เฮ้ย ไม่ได้จะไปสร้างโลก จะไปรู้ที่มาของมันอะไรขนาดนั้น ,,, แต่ การเรียนหนังสือ มันก็เหมือนกับการมีแฟนนั่นแหละครับ จริงอยู่ว่า แฟนเรา เขาเป็นใคร มาจากไหน อาจจะไม่สำคัญ สำคัญที่สุด ก็คือ เขารักเราก็พอ (อ้วกกกกกกก) ,,, แต่มันจะดีกว่าไหมครับ ถ้าเราได้ศึกษาภูมิหลังและความเป็นมาของเขา์ เพื่อให้เข้าใจเขาได้มากขึ้นและสามารถอยู่ด้วยกันได้อย่างมีความสุข

ซึ่งมันก็ทุกแขนงวิชานั่นแหละครับ กับการที่เราจำเพียงแค่ทฤษฎีไปใช้ (แถมอาจจะจำไปผิดๆ) บอกเลยว่า มันไม่เพียงพอ ,,, ในโลกแห่งความเป็นจริง ปัญหาต่างๆมันพลิกแพลงกว่าโจทย์คณิตเยอะ ขอบอกๆ