ได-Ed : Coming of ed

ก่อนอื่น สำหรับหลายๆท่าน ที่อ่านออกเสียง Fourier ว่า ฟูเรียร์ อยู่ ขออนุญาตบอกกันตรงนี้ว่า ชื่อนี้อ่านว่า ฟูริเยร์ ครับ ,,, อีกซักทีอ่ะ ฟูริเยร์ จ้าาาาาาาาาา 

ได-Ed ร่วมกับ exteen.com ภูมิใจสนอง ผ่าม พาม พ้าม ,,,, โซระ อาโออิ (อ่าว ฮะ ไม่ใช่ เหรอ งั้นเอาใหม่ๆ)

ได-Ed ร่วมกับ exteen.com ภูมิใจสนอง ผ่าม พาม พ้าม ,,,, อนุกรมฟูิริเยร์ 

Joseph Fourier

ย้อนไปเมื่อ ปี 1807 นักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส นามว่า Joseph Fourier ได้คิดอนุกรมที่ต่อมาเรียกชื่อตามชื่อของท่าน ว่า อนุกรมฟูิริเยร์  เพื่อใช้แก้ปัญหาการไหลของความร้อน โดยจำลองว่า ความร้อนนั้นเป็นรูปแบบคลื่นอย่างหนึ่ง และแทนที่จะพิจารณาคลื่นในช่วงเวลาต่างๆ แต่ว่าท่านฟูริเยร์แกแนวมาก แกเปลี่ยนมาพิจารณาคลื่นในช่วงความถี่ต่างๆแทน 

การทำเช่นนี้ ทำให้สามารถวิเคราะห์ได้ว่า คลื่นประกอบด้วยช่วงความถี่อะไรบ้าง ถี่สั้น ถี่ยาว ถี่ยิกๆ ก็ว่ากันไป ,,, และถ้าเราได้ข้อมูลของความถี่มาแล้ว เราก็สามารถเพิ่มความถี่บางช่วงที่เราต้องการ หรือลดความถี่บางช่วงที่เราไม่ต้องการได้ จากนั้น เมื่อเราได้คลื่นที่เราต้องการ และพอใจ ใช่เลย เราก็แปลงคลื่นกลับมาเป็นรูปแบบปกติก็เป็นอันเสร็จพิธี

ก่งก๊งไหมจ้ะ  *3*) งั้น เราไปก่งก๊งกันต่อกับสมการ (ใครขี้เกียจอ่านสมการ ก็ข้ามลงไปอ่านตัวอย่างได้เลยครับ)

สมมติ ผมมีฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังกชันของคลื่นเสียงของเพลงเพลงนึง เมื่อ x หมายถึง เวลา(ในที่นี้ผมขอใช้หน่วยเป็นวินาที)  ,,, แน่นอนว่า ค่าของ f(x) นั้น จะเปลี่ยนแปลงไป ตาม x ดังนั้น เสียงเพลงในแต่ละวินาที จึงแตกต่างกันออกไป โอเค พอมองภาพออกนะครับ

ทีนี้ สมมติว่า ไอ่เพลงที่เราฟังเนี่ย เป็นไฟล์เสียงคุณภาพฟักกลิ้งชิท สนิทใจ คือ แบ็บว่า เปิดขึ้นมาแล้ว มีเสียงคลื่นแทรก คลื่นแซบ แซกตลอด ฟังแล้วไม่เคลียร์ ละเหี่ยใจยิ่งนัก ,,, ทำยังไง เราถึงจะลดไอ้คลื่นรบกวนเหล่านี้ทิ้งไปได้

กลับมาที่เดิม กลับมาพิจารณาที่ f(x) กันต่อ เราจะทำยังไงกับมันดี? ,,, เราแทบจะทำด๋อยอะไรไม่ได้เลย เพราะ ฟังก์ชั่น f(x) นั้น มันเล่นยำทุกสิ่งลงไปเป็นก้อนเดียวกัน ทั้ง ไอ้ส่วนที่เป็นเพลง ไม่ว่าจะเป็น เสียงร้อง เสียงกลอง เบส กีตาร์ ฉาบ พิณ แคน รวมทั้ง ไอ้ส่วนที่เป็น คลื่นรบกวน ที่เราไม่ต้องการ มันก็ยำอยู่ในนั้นแหละ ,,, ถ้าเราจะกำจัดคลื่นรบกวน ชัวร์ป้าบ เสียงที่เป็นเพลง ก็จะโดนกำจัดออกไป ไม่มีคลื่นรบกวน แต่ก็ไม่มีเสียงเพลง อ่าว แล้วจะเอายังไงกับมันดี

วิธีง่ายๆที่อยากจะขอนำมาเป็นตัวอย่างก็ึึคือ ถ้าเรารู้ว่า คลื่นรบกวน เป็นช่วงคลื่นความถี่สูงในช่วงหนึ่ง แล้วเราก็กำจัดความถี่ช่วงนั้นทิ้งซะ เราก็จะเหลือแค่ส่วนที่เป็นเพลงจริงๆ ชิมิ ปรัชญาง่ายๆ ไม่ซับซ้อนเนอะ

แต่คำถามคือ ทำยังไงเราถึงจะสามารถพิจารณา เพลงที่อยู่ในรูปฟังก์ชัน f(x) ของเรา ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลา ให้กลายมาเป็นการจำแนกแบบความถี่ได้

และคำตอบก็คือ อนุกรมฟูริเยร์!!! (ถูกต้องนะค้าบบบบบบบบบบบบบบบบบ)

สมมติว่า เรามีฟังก์ชัน f(x) ที่มีลักษณะเป็นคาบ 2L พูดเป็นภาษาง่ายๆแบบที่คนเขาพูดกันก็คือ ทุกๆเวลาผ่านไป 2L วินาทีค่าของฟังก์ชัน f(x) จะกลับมาอยู่ที่ค่าเดิม ,,,

เขียนเป็นสมการเท่ๆว่า

f(x) = f(x+2L) ,,,

เราสามาถ เขียนฟังก์ชั่น f(x) ให้อยู่ในรูปของผลบวกของ sin และ cos ได้ ดังนี้

โดยที่

นั่นก็คือ ทีแรก เรามี f(x) อยู่ แล้วเรา ก็เอาไปเขียนละเลงซะใหม่ ให้อยู่ในรูปผลบวกของ cos กับ sin ได้ โดยที่สัมประสิทธิ์ (a_n และ b_n) ของแต่ละพจน์ก็หาได้จากสูตรข้างบนนั่นแล เอวังฯ

หมายเห็ด : ถ้าฟังก์ชั่นไม่ใช่ฟังก์ชั่นที่มีลักษณะเป็นคาบ ไอเดียของอนุกรมฟูริเยร์ จะขยายไปสู่ การแปลงฟูริเยร์ ซึงสามารถอ่านได้จาก wiki และ mathworld

,,, ,,, ,,,

คำถามคือ มันทำแป๊ะซะอะไรได้วะครับ?

คำตอบคือ ได้สิครับ แป๊ะซะรสเด็ดซะด้วย (ชงเอง กินเอง HA)

จำได้ไหมครับ ที่ผมติดค้างไว้ว่า เราจะสามารถเปลี่ยนการพิจารณาแบบช่วงเวลา มาเป็นช่วงความถี่ของคลื่นได้อย่างไร โอเค ขายยามานาน ได้เวลาเอาจริงแล้ว

ตอนนี้ เราได้สัมประสิทธิ  a_n และ b_n ในแต่ละพจน์มาเรียบร้อยแล้ว จากนั้น เราเอามาคำนวณหาค่าต่อไปนี้

ในแต่ละพจน์ และเรียกมันว่า magnitude ,,, ซึ่งไอ้ magnitude นี่แหละ ที่ทำให้เราสามารถพิจารณาคลื่นในช่วงความถี่แต่ละความถี่ได้

,,, ,,, ,,,

เอาล่ะ ได้เวลา ยกตัวอย่าง

สมมติว่านี่คือคลื่นเสียงของผม ที่ผมกำลังวิเคราะห์ก๊อกๆอยู่

,,, ,,, ,,,

หลังจากหาสัมประสิทธิ์  a_n และ b_n ตามสูตรของอนุกรมฟูเรียร์ เอ้ย ฟูริเยร์ ,,,ผม ก็นำมาหา magnitude ได้กราฟหน้าตาแบบนี้แหละ

magnitude เป็นตัวบอกเราว่า คลื่นในช่วงความถี่แต่ละช่วงมีค่าสูงหรือต่ำเท่าใด เช่น ตัวอย่างที่ผมยกมา คลื่นนี้ ในช่วงความถี่ ราวๆ 10 กว่าๆ กับ 80 กว่าๆ โดยประมาณ ก็จะมีค่าสูงโด่งโก่งตูด กว่าชาวบ้านเขา ,,, ส่วนช่วงความถี่อื่นๆ ก็จะมีค่าต่ำ

,,, ,,, ,,,

ทีนี้ ถ้าผมแกล้งเอาคลื่นรบกวน คลื่นแทรก คลื่นแซบ บวกเข้าไปในสัญาณเสียง คลื่นมันก็จะดูอีรุงตุงนังขึ้นกว่าเดิม

,,, ,,, ,,,

แน่นอนว่า magnitude ก็จะมีข้อมูลขยะ ที่เกิดจากสัญาณรบกวน เพิ่มขึ้นมา

ปัญหาคือ ถ้าเราต้องการจะกำจัดข้อมูลขยะที่เพิ่มขึ้นมาโดยที่เราไม่ต้องการ เราจะทำเยี่ยงใด?

,,, ,,, ,,,

สมมติว่า เรามีข้อมูลสัญญาณคลื่นเสียงอันนึง ที่มีคลื่นรบกวนสะเหร่อบวกเข้ามาเต็มเลย งุ้งงิ้งๆ เอี๊ยดอ๊าดๆ

,,, ,,, ,,,

เรานำไปคลื่นนี้ ไปหา magnitude จากสูตรของอนุกรมฟูริเยร์ เราก็จะได้ magnitude  หน้าตาแบบนี้

,,, ,,, ,,,

และถ้าเรา ตั้งสมมติฐานว่า อ๋อ ไอ้คลื่นรบกวน มันน่าจะเป็นช่วงความถี่สูงๆ เราก็กำจัดม่างทิ้งเลย ,,, เซ็ตค่าช่วงความถี่สูงๆให้เป็น 0 ซะ เราก็จะได้ magnitude หน้าตาแบบนี้

ทายซิครับ ผลลัพธ์ของคลื่นสัญญาณอันเดิมของเรา หน้าตาจะเปลี่ยนไปยังไง?

,,, ,,, ,,,

เรา ก็จะได้สัญญาณเดิมนั่นแหละ แต่!!! เราจะได้สัญญาณเสียงที่ smooth ราบเรียบ รื่นหู ขึ้น เพราะเรา ได้กำจัดช่วงความถี่ ที่เป็นคลื่นรบกวนออกไปหมดแล้ว

บิงโก!!!  

,,, ,,, ,,,

เอ๊ะ หลายคนอาจจะบ่นว่า มีแต่สมการกับกราฟ มโนภาพตามลำบาก งั้น เรามาดูอะไรที่มัน มโนภาพง่ายดีกว่า ฮี่ๆ

นี่เป็น เดโมโปรแกรมทำมือ ที่ผมเขียนขึ้น เอาไว้ใช้ตอนศึกษาีวีดีโอโปรเซสซิ่งโดยใช้การแปลงฟูริเยร์ ,,,

สมมติว่าผมมีวีดีโออยู่อันนึง ซึ่งมีสัญญาณรบกวนอันไม่พึงประสงค์อยู่

จอภาพด้านซ้ายบน ก็คือ ไฟล์ต้นฉบับ ส่วนด้านล่างเอาไว้โชว์ส่วนที่สำหรับประมวลผล และกราฟเหลืองๆด้านขวา คือ magnitude ของวีดีโอ ซึ่งพอเป็นวีดีโอ มีแกน x และ y กราฟก็เลยกลายเป็น 3 มิติพิศวงก่งก๊ง

,,, ,,, ,,,

หลักการง่ายๆวิธีนึง ที่จะพิจารณาสัญญาณรบกวนอันไม่พึงประสงค์ในวีดีโอ นั่นก็คือ การเลือกเอาช่วงความถี่ที่เราคาดว่าจะเป็นคลื่นสัญญาณรบกวนออกมา ซึ่งก็เป็นหลักการเดียวกันกับข้างบนนั่นแหละฮ่ะ *3*)

สังเกตว่า เมื่อผมคัดเอาสัญญาณในบางช่วงความถี่ออกมาโชว์ มันก็คือส่วนนึงของคลื่นสัญญาณรบกวนนั่นเอง และกราฟด้านขวาก็คือ กราฟแสดง magnitude ของสัญญาณรบกวน

,,, ,,, ,,,

อ่านมาถึงตรงนี้ หลายคนอาจจะคิดว่า ก็ตัดคลื่นสัญญาณออกแบบตัวอย่างข้างบนสิ เราก็จะได้ดูโซระ อาโออิ แบบชัดๆหน่อย ,,, แต่ความจริงก็คือ โลกนี้มันช่างโหดร้ายนัก เพราะ เราไม่มีทางรู้ด้วยสัญชาตญาณว่า ช่วงความถี่ไหนเป็นช่วงความถี่ของข้อมูลที่เราต้องการ และช่วงความถี่ไหน เป็นช่วงของสัญญาณรบกวน ดังนั้น นี่จึงเป็นความท้าทายอย่างหนึ่ง ที่นักคณิตศาสตร์และนักคอมพิวเตอร์ ได้พยายามหาแนวคิดต่างๆ เพื่อมาพิจารณาในการลดสัญญาณรบกวนได้อย่างมีประสิทธิภาพ และก็พูดได้อย่างเต็มปากเลยว่า แนวคิดของอนุกรมฟูริเยร์ มีอิทธิพลต่องานด้าน image processing , video processing และการประมวลผล คลื่นในรูปแบบอื่นอีกมากมาย ,,, 

แด่  ฟูริเยร์ ผู้ยิ่งใหญ่

,,, ,,, ,,,

special thanks : wikipedia , ohninger.com , mitov.com and mathworld