ก่อนอื่น สำหรับหลายๆท่าน ที่อ่านออกเสียง Fourier ว่า ฟูเรียร์ อยู่ ขออนุญาตบอกกันตรงนี้ว่า ชื่อนี้อ่านว่า ฟูริเยร์ ครับ ,,, อีกซักทีอ่ะ ฟูริเยร์ จ้าาาาาาาาาา 

ได-Ed ร่วมกับ exteen.com ภูมิใจสนอง ผ่าม พาม พ้าม ,,,, โซระ อาโออิ (อ่าว ฮะ ไม่ใช่ เหรอ งั้นเอาใหม่ๆ)

ได-Ed ร่วมกับ exteen.com ภูมิใจสนอง ผ่าม พาม พ้าม ,,,, อนุกรมฟูิริเยร์ 


Joseph Fourier

ย้อนไปเมื่อ ปี 1807 นักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส นามว่า Joseph Fourier ได้คิดอนุกรมที่ต่อมาเรียกชื่อตามชื่อของท่าน ว่า อนุกรมฟูิริเยร์  เพื่อใช้แก้ปัญหาการไหลของความร้อน โดยจำลองว่า ความร้อนนั้นเป็นรูปแบบคลื่นอย่างหนึ่ง และแทนที่จะพิจารณาคลื่นในช่วงเวลาต่างๆ แต่ว่าท่านฟูริเยร์แกแนวมาก แกเปลี่ยนมาพิจารณาคลื่นในช่วงความถี่ต่างๆแทน 

การทำเช่นนี้ ทำให้สามารถวิเคราะห์ได้ว่า คลื่นประกอบด้วยช่วงความถี่อะไรบ้าง ถี่สั้น ถี่ยาว ถี่ยิกๆ ก็ว่ากันไป ,,, และถ้าเราได้ข้อมูลของความถี่มาแล้ว เราก็สามารถเพิ่มความถี่บางช่วงที่เราต้องการ หรือลดความถี่บางช่วงที่เราไม่ต้องการได้ จากนั้น เมื่อเราได้คลื่นที่เราต้องการ และพอใจ ใช่เลย เราก็แปลงคลื่นกลับมาเป็นรูปแบบปกติก็เป็นอันเสร็จพิธี

ก่งก๊งไหมจ้ะ  *3*) งั้น เราไปก่งก๊งกันต่อกับสมการ (ใครขี้เกียจอ่านสมการ ก็ข้ามลงไปอ่านตัวอย่างได้เลยครับ)

สมมติ ผมมีฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังกชันของคลื่นเสียงของเพลงเพลงนึง เมื่อ x หมายถึง เวลา(ในที่นี้ผมขอใช้หน่วยเป็นวินาที)  ,,, แน่นอนว่า ค่าของ f(x) นั้น จะเปลี่ยนแปลงไป ตาม x ดังนั้น เสียงเพลงในแต่ละวินาที จึงแตกต่างกันออกไป โอเค พอมองภาพออกนะครับ

ทีนี้ สมมติว่า ไอ่เพลงที่เราฟังเนี่ย เป็นไฟล์เสียงคุณภาพฟักกลิ้งชิท สนิทใจ คือ แบ็บว่า เปิดขึ้นมาแล้ว มีเสียงคลื่นแทรก คลื่นแซบ แซกตลอด ฟังแล้วไม่เคลียร์ ละเหี่ยใจยิ่งนัก ,,, ทำยังไง เราถึงจะลดไอ้คลื่นรบกวนเหล่านี้ทิ้งไปได้

กลับมาที่เดิม กลับมาพิจารณาที่ f(x) กันต่อ เราจะทำยังไงกับมันดี? ,,, เราแทบจะทำด๋อยอะไรไม่ได้เลย เพราะ ฟังก์ชั่น f(x) นั้น มันเล่นยำทุกสิ่งลงไปเป็นก้อนเดียวกัน ทั้ง ไอ้ส่วนที่เป็นเพลง ไม่ว่าจะเป็น เสียงร้อง เสียงกลอง เบส กีตาร์ ฉาบ พิณ แคน รวมทั้ง ไอ้ส่วนที่เป็น คลื่นรบกวน ที่เราไม่ต้องการ มันก็ยำอยู่ในนั้นแหละ ,,, ถ้าเราจะกำจัดคลื่นรบกวน ชัวร์ป้าบ เสียงที่เป็นเพลง ก็จะโดนกำจัดออกไป ไม่มีคลื่นรบกวน แต่ก็ไม่มีเสียงเพลง อ่าว แล้วจะเอายังไงกับมันดี

วิธีง่ายๆที่อยากจะขอนำมาเป็นตัวอย่างก็ึึคือ ถ้าเรารู้ว่า คลื่นรบกวน เป็นช่วงคลื่นความถี่สูงในช่วงหนึ่ง แล้วเราก็กำจัดความถี่ช่วงนั้นทิ้งซะ เราก็จะเหลือแค่ส่วนที่เป็นเพลงจริงๆ ชิมิ ปรัชญาง่ายๆ ไม่ซับซ้อนเนอะ

แต่คำถามคือ ทำยังไงเราถึงจะสามารถพิจารณา เพลงที่อยู่ในรูปฟังก์ชัน f(x) ของเรา ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลา ให้กลายมาเป็นการจำแนกแบบความถี่ได้

และคำตอบก็คือ อนุกรมฟูริเยร์!!! (ถูกต้องนะค้าบบบบบบบบบบบบบบบบบ)

สมมติว่า เรามีฟังก์ชัน f(x) ที่มีลักษณะเป็นคาบ 2L พูดเป็นภาษาง่ายๆแบบที่คนเขาพูดกันก็คือ ทุกๆเวลาผ่านไป 2L วินาทีค่าของฟังก์ชัน f(x) จะกลับมาอยู่ที่ค่าเดิม ,,,

เขียนเป็นสมการเท่ๆว่า

f(x) = f(x+2L) ,,,

เราสามาถ เขียนฟังก์ชั่น f(x) ให้อยู่ในรูปของผลบวกของ sin และ cos ได้ ดังนี้


โดยที่

นั่นก็คือ ทีแรก เรามี f(x) อยู่ แล้วเรา ก็เอาไปเขียนละเลงซะใหม่ ให้อยู่ในรูปผลบวกของ cos กับ sin ได้ โดยที่สัมประสิทธิ์ (an และ bn) ของแต่ละพจน์ก็หาได้จากสูตรข้างบนนั่นแล เอวังฯ

หมายเห็ด : ถ้าฟังก์ชั่นไม่ใช่ฟังก์ชั่นที่มีลักษณะเป็นคาบ ไอเดียของอนุกรมฟูริเยร์ จะขยายไปสู่ การแปลงฟูริเยร์ ซึงสามารถอ่านได้จาก wiki และ mathworld

,,, ,,, ,,,

คำถามคือ มันทำแป๊ะซะอะไรได้วะครับ?

คำตอบคือ ได้สิครับ แป๊ะซะรสเด็ดซะด้วย (ชงเอง กินเอง HA)

จำได้ไหมครับ ที่ผมติดค้างไว้ว่า เราจะสามารถเปลี่ยนการพิจารณาแบบช่วงเวลา มาเป็นช่วงความถี่ของคลื่นได้อย่างไร โอเค ขายยามานาน ได้เวลาเอาจริงแล้ว

ตอนนี้ เราได้สัมประสิทธิ  an และ bn ในแต่ละพจน์มาเรียบร้อยแล้ว จากนั้น เราเอามาคำนวณหาค่าต่อไปนี้

ในแต่ละพจน์ และเรียกมันว่า magnitude ,,, ซึ่งไอ้ magnitude นี่แหละ ที่ทำให้เราสามารถพิจารณาคลื่นในช่วงความถี่แต่ละคว