ได-Ed : Coming of ed

เคยมีความรู้สึกลังเลและไม่แน่ใจกับสิ่งที่เราเห็นหรือสัมผัสรับรู้ได้กันไหมครับ

บางสิ่งในโลก เราก็ไม่เคยเห็นหรือจับต้องมันได้ แต่เราก็รับรู้ได้ว่ามันมีอยู่จริง

ในขณะบางสิ่ง เราจับต้องและสัมผัสมันได้ แต่เราก็ไม่แน่ใจว่าสิ่งที่เราคิดนั้น เราปรุงแต่งมันขึ้นมา หรือมันเป็นอย่างนั้นจริงๆ 

อนัตตา หมายถึง ความไม่มีตัวตน พูดง่ายaก็คือ สิ่งที่เราเห็นอยู่ หรือสัมผัสได้ ล้วนเป็นสิ่งที่เราปรุงแต่งขึ้น เพราะทั้งหมดล้วนไม่มีตัวตน รูปธรรมทั้งหลายที่เราเข้าใจ จริงๆแล้วล้วนแต่เป็นนามธรรมที่เราสมมติขึ้นทั้งนั้น

ผมอยากจะเชื่อมโยงหลักอนัตตานี้ เข้ากับความรู้ทางแคลคูลัสอย่างหนึ่ง ที่เรียกว่า ลิมิตของฟังก์ชัน

ถ้าเรามีฟังก์ชัน f(x) อยู่ ,,, ลิมิตของ f(x) เมื่อ x ลู่เข้าสู่ a คือ ค่าของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x อยู่บริเวณรอบๆ a

เข้าใกล้ a แต่ไม่ใช่ a

จึงไม่แปลกที่หลายๆครั้ง ค่าของลิมิต แตกต่างจากค่าของฟังก์ชัน

image : curvebank.calstatela.edu

จากตัวอย่างในรูป ค่า f(1) = 2 แต่ลิมิต ของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่ากับ 1

จะเห็นได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน กับค่าของลิมิต ไม่เท่ากัน

นั่นก็เพราะ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ไม่ได้คิด ณ จุด x = 1 แต่ไปคิดบริเวณใกล้ๆ x = 1 แทน ดังรูปต่อไปนี้

ในขณะเดียวกัน ถ้าเราพิจารณา ที่จุด x=2 ค่าของฟังก์ชัน คือ 2 แต่ลิมิตกลับหาค่าไม่ได้ (เพราะ ค่าของฟังก์ชันของ x ที่อยู่ใกล้ๆ 2 ทางด้านฝั่งซ้ายและขวามีไม่เท่ากัน หรือ พูดเป็นภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ไม่เท่ากัน)

ในทางตรงกันข้ามกับจุด x= 2 ถ้าเราลองไปพิจารณา ณ จุด x = 4 นั้น จะเห็นว่า ค่าของฟังก์ชัน หาค่าไม่ได้ แต่เราลองมองบริเวณรอบๆใกล้ๆจุด x = 4 เราสามารถบอกได้ทันทีว่า ค่าของลิมิต มีค่าเท่ากับ 2

นี่คืออานุภาพของคำว่า เข้าใกล้ จุดๆหนึ่ง แต่ไม่ใช่จุดๆนั้น (เหมือนกับ เธอยืนอยู่ใกล้ๆฉัน แต่เธอไม่ได้ยืนอยู่ที่เดียวกับฉัน)

เมื่อจุดที่อยู่ใกล้ๆ a นั้น เป็นคนละจุดกับ a (เช่น เข้าใกล้ 1 แต่ไม่ใช่ 1) สิ่งที่เรียกว่่า "ระยะทาง" จึงเกิดขึ้น

ตลอดระยะเวลา 2 ปีที่ผ่านมา เกิดคำถามอย่างหนึ่งขึ้นในใจผม

เมื่อเรารู้ว่า การพิจารณาลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุด a คือการพิจารณา ค่าของฟังก์ชันของจุดที่อยู่ใกล้ๆ a แต่ไม่ใช่ a คำถามต่อมา ก็คือ แล้วระยะห่างระหว่างจุดใกล้ๆที่ว่านี้ กับ จุด a มันใกล้กันซักเท่าไหร่ล่ะ?

ถ้าตอบอย่างนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็จะต้องบอกว่า ห่างกันด้วยระยะน้อยมากๆ จนแทบจะเป็น 0 แต่ไม่ใช่ 0 ซึ่งระยะดังกล่าว มักจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ เดลต้า ซึ่งเป็นอักษรกรีกตัวหนึ่ง

ความเป็นจริงที่เราจะต้องจำไว้เสมอ นั่นคือ ต่อให้เราพิจารณาบริเวณจุดที่ใกล้ a สักแค่ไหน แต่เราไม่มีทางที่จะหาจุดที่ใกล้ a ที่สุดได้!!!

เมื่อใครซักคนบอกว่า "ฉันเจอจุดที่ใกล้จุด a ที่สุดแล้วนะ" นั่นแสดงว่า เขากำลังโกหกอยู่ เพราะ จุดที่ใกล้จุด a ที่สุด คือจุดที่มีระยะทางห่างจาก a ใกล้ 0 ที่สุด

หากเป็นอย่างนั้น ถ้าเขาบอกว่า เขาเจอระยะทางที่ห่างจาก a น้อยที่สุดแล้ว ผมก็แค่ เอาระยะทางนั้น ไปหาร 2 ซะ ผมก็จะได้ระยะทางที่น้อยกว่า

ในขณะเดียวกัน หากเขาเอาระยะทางที่ผมพึ่งจะหาได้ ไปหาร 2 อีกครั้ง เขาก็จะได้ระยะทางที่ใกล้ a มากกว่า

เป็นอย่างนี้ ไม่รู้จบ ...

ระยะทาง คือสิ่งที่จับต้องได้ และวัดได้ แต่ความน่าฉงนก็คือ เมื่อเราพูดถึงลิมิต ระยะทางดูเหมือนจะกลายเป็นเรื่องก้ำกึ่งระหว่างนามธรรมและรูปธรรม

ระยะทางที่ใกล้จุด a ที่สุด ที่ควรจะเป็นสิ่งที่จับต้องได้ เป็นสิ่งที่มีตัวตน แต่เรา ก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ระยะทางนั้นคือเท่าไหร่ ซึ่งนั่นก็คือ อนัตตา

เข้าใกล้ a มากๆ แต่มากขนาดไหน?

ลิมิต คือตัวอย่างหนึ่ง ที่มนุษย์ใช้อนัตตาอธิบายสิ่งที่เป็นอัตตา

ลองย้อนกลับได้ดูรูปกราฟข้างบน อีกที ...

ลองพิจารณาที่จุด x = 4 อัตตาของ f(4) ไม่มีอยู่ หรือ ไร้ตัวตน

แต่ ลองมองค่าของฟังก์ชัน ของจุดที่อยู่ใกล้ๆ x= 4 แต่ไม่ใช่ 4  ... ลิมิตกลับมีตัวตน

,,, ,,, ,,,

ลองมองย้อนกลับมาที่ตัวตนของเรา

ตัวตนของเรา ใน ตอนนี้ วินาทีนี้ ขณะนี้ เพียงแค่เรา หายใจ หรือขยับตัวเพียงเล็กน้อย สิ่งที่เป็นเราอยู่ในขณะสักครู่ ก็เป็นสิ่งใหม่ในทันใด ...