ลิมิต/อัตตา/อนัตตา

posted on 24 Nov 2008 18:10 by watchi in appliED-Math

เคยมีความรู้สึกลังเลและไม่แน่ใจกับสิ่งที่เราเห็นหรือสัมผัสรับรู้ได้กันไหมครับ

บางสิ่งในโลก เราก็ไม่เคยเห็นหรือจับต้องมันได้ แต่เราก็รับรู้ได้ว่ามันมีอยู่จริง

ในขณะบางสิ่ง เราจับต้องและสัมผัสมันได้ แต่เราก็ไม่แน่ใจว่าสิ่งที่เราคิดนั้น เราปรุงแต่งมันขึ้นมา หรือมันเป็นอย่างนั้นจริงๆ 

อนัตตา หมายถึง ความไม่มีตัวตน พูดง่ายaก็คือ สิ่งที่เราเห็นอยู่ หรือสัมผัสได้ ล้วนเป็นสิ่งที่เราปรุงแต่งขึ้น เพราะทั้งหมดล้วนไม่มีตัวตน รูปธรรมทั้งหลายที่เราเข้าใจ จริงๆแล้วล้วนแต่เป็นนามธรรมที่เราสมมติขึ้นทั้งนั้น

ผมอยากจะเชื่อมโยงหลักอนัตตานี้ เข้ากับความรู้ทางแคลคูลัสอย่างหนึ่ง ที่เรียกว่า ลิมิตของฟังก์ชัน

ถ้าเรามีฟังก์ชัน f(x) อยู่ ,,, ลิมิตของ f(x) เมื่อ x ลู่เข้าสู่ a คือ ค่าของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x อยู่บริเวณรอบๆ a

เข้าใกล้ a แต่ไม่ใช่ a

จึงไม่แปลกที่หลายๆครั้ง ค่าของลิมิต แตกต่างจากค่าของฟังก์ชัน


image : curvebank.calstatela.edu

จากตัวอย่างในรูป ค่า f(1) = 2 แต่ลิมิต ของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่ากับ 1

จะเห็นได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน กับค่าของลิมิต ไม่เท่ากัน

นั่นก็เพราะ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ไม่ได้คิด ณ จุด x = 1 แต่ไปคิดบริเวณใกล้ๆ x = 1 แทน ดังรูปต่อไปนี้

ในขณะเดียวกัน ถ้าเราพิจารณา ที่จุด x=2 ค่าของฟังก์ชัน คือ 2 แต่ลิมิตกลับหาค่าไม่ได้ (เพราะ ค่าของฟังก์ชันของ x ที่อยู่ใกล้ๆ 2 ทางด้านฝั่งซ้ายและขวามีไม่เท่ากัน หรือ พูดเป็นภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ไม่เท่ากัน)

ในทางตรงกันข้ามกับจุด x= 2 ถ้าเราลองไปพิจารณา ณ จุด x = 4 นั้น จะเห็นว่า ค่าของฟังก์ชัน หาค่าไม่ได้ แต่เราลองมองบริเวณรอบๆใกล้ๆจุด x = 4 เราสามารถบอกได้ทันทีว่า ค่าของลิมิต มีค่าเท่ากับ 2

นี่คืออานุภาพของคำว่า เข้าใกล้ จุดๆหนึ่ง แต่ไม่ใช่จุดๆนั้น (เหมือนกับ เธอยืนอยู่ใกล้ๆฉัน แต่เธอไม่ได้ยืนอยู่ที่เดียวกับฉัน)

เมื่อจุดที่อยู่ใกล้ๆ a นั้น เป็นคนละจุดกับ a (เช่น เข้าใกล้ 1 แต่ไม่ใช่ 1) สิ่งที่เรียกว่่า "ระยะทาง" จึงเกิดขึ้น

ตลอดระยะเวลา 2 ปีที่ผ่านมา เกิดคำถามอย่างหนึ่งขึ้นในใจผม

เมื่อเรารู้ว่า การพิจารณาลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุด a คือการพิจารณา ค่าของฟังก์ชันของจุดที่อยู่ใกล้ๆ a แต่ไม่ใช่ a คำถามต่อมา ก็คือ แล้วระยะห่างระหว่างจุดใกล้ๆที่ว่านี้ กับ จุด a มันใกล้กันซักเท่าไหร่ล่ะ?

ถ้าตอบอย่างนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็จะต้องบอกว่า ห่างกันด้วยระยะน้อยมากๆ จนแทบจะเป็น 0 แต่ไม่ใช่ 0 ซึ่งระยะดังกล่าว มักจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ เดลต้า ซึ่งเป็นอักษรกรีกตัวหนึ่ง

ความเป็นจริงที่เราจะต้องจำไว้เสมอ นั่นคือ ต่อให้เราพิจารณาบริเวณจุดที่ใกล้ a สักแค่ไหน แต่เราไม่มีทางที่จะหาจุดที่ใกล้ a ที่สุดได้!!!

เมื่อใครซักคนบอกว่า "ฉันเจอจุดที่ใกล้จุด a ที่สุดแล้วนะ" นั่นแสดงว่า เขากำลังโกหกอยู่ เพราะ จุดที่ใกล้จุด a ที่สุด คือจุดที่มีระยะทางห่างจาก a ใกล้ 0 ที่สุด

หากเป็นอย่างนั้น ถ้าเขาบอกว่า เขาเจอระยะทางที่ห่างจาก a น้อยที่สุดแล้ว ผมก็แค่ เอาระยะทางนั้น ไปหาร 2 ซะ ผมก็จะได้ระยะทางที่น้อยกว่า

ในขณะเดียวกัน หากเขาเอาระยะทางที่ผมพึ่งจะหาได้ ไปหาร 2 อีกครั้ง เขาก็จะได้ระยะทางที่ใกล้ a มากกว่า

เป็นอย่างนี้ ไม่รู้จบ ...

ระยะทาง คือสิ่งที่จับต้องได้ และวัดได้ แต่ความน่าฉงนก็คือ เมื่อเราพูดถึงลิมิต ระยะทางดูเหมือนจะกลายเป็นเรื่องก้ำกึ่งระหว่างนามธรรมและรูปธรรม

ระยะทางที่ใกล้จุด a ที่สุด ที่ควรจะเป็นสิ่งที่จับต้องได้ เป็นสิ่งที่มีตัวตน แต่เรา ก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ระยะทางนั้นคือเท่าไหร่ ซึ่งนั่นก็คือ อนัตตา

เข้าใกล้ a มากๆ แต่มากขนาดไหน?

ลิมิต คือตัวอย่างหนึ่ง ที่มนุษย์ใช้อนัตตาอธิบายสิ่งที่เป็นอัตตา

ลองย้อนกลับได้ดูรูปกราฟข้างบน อีกที ...

ลองพิจารณาที่จุด x = 4 อัตตาของ f(4) ไม่มีอยู่ หรือ ไร้ตัวตน

แต่ ลองมองค่าของฟังก์ชัน ของจุดที่อยู่ใกล้ๆ x= 4 แต่ไม่ใช่ 4  ... ลิมิตกลับมีตัวตน

,,, ,,, ,,,

ลองมองย้อนกลับมาที่ตัวตนของเรา

ตัวตนของเรา ใน ตอนนี้ วินาทีนี้ ขณะนี้ เพียงแค่เรา หายใจ หรือขยับตัวเพียงเล็กน้อย สิ่งที่เป็นเราอยู่ในขณะสักครู่ ก็เป็นสิ่งใหม่ในทันใด ...

Comment

Comment:

Tweet

การมองเห็นไม่ใช่ทุกอย่างจริงๆ ด้วย ๕๕๕+confused smile

#33 By Untitled_666 on 2010-06-22 22:16

ท่านเว่ยหลาง พูดไว้ ...
ทันทีเธอที่ใช้ เหตุผล กับ มัน เธอจะร่วงลงสู่ความผิดพลาดทันที


แต่ผมว่ามันงามนะครับ (ชอบการนำเสนอทำนองนี้เหมือนกัน เอิ๊กกก) ที่จะอรรถาธิบายสัจจะเหล่านั้น ด้วยหลักอะไรสักอย่าง ที่จับแล้วพอให้พึ่งพิงได้บ้าง ไม่สั่นคลอนเป็นไม้หลักปักเลน

อย่างเช่น หลักของตรรกะ หลักของคณิตศาสตร์
มันทำให้เราไม่หลุดออกไปอย่างไร้จุดหมาย

แต่เราหลุดก็ออกไปอย่างมีหลักการ (หลุดแบบหรู หลุดด้วยตรรกะ) เหอ เหอ เหอ

ความไม่มีอยู่ มันแปลก !!

เวลาคนเอามาถ่ายทอดกันด้วยคำพูด ด้วยตรรกะ คนรับจะรับได้แบบสร้างภาวะคิดตาม แต่ไม่ค่อยได้รสชาติ เหมือนกับเราดูหนัง คนในหนังเขากินข้าว

เรารับได้ทางตา แต่เราไม่ทางได้รู้รสชาติของกับข้าวที่กินกันในหนังแน่ (ถ้าไม่ได้ลองกินก่อน ก็หมดสิทธิ์จินตนาการ)

การถ่ายทอด ความไม่มีอยู่ แทบจะคล้ายกัน

รสชาติมันเกิดขึ้น ตอนที่ เลิกพูดถึงตรรกะทั้งหลาย แบบชั่วขณะ มันแว่บเดียวเอง

หลังจากนั้นก็เป็นหน้าที่ของต่อมเมมโมรี่เขาล่ะ เรคคอร์ดไว้อัตโนมัติ แล้วส่งต่อให้..หน่วยปรุง..ทำหน้าที่คิด แล้วรวบเอาแต่ยอดของสิ่งที่คิด จากนั้นก็ print ออกมา
>> Print ทางคำพูด
>> Print ท่าทาง /การกระทำ
>> Print การคิด อีกรอบ(Print ซ้อน Print)

.... สรุปที่ว่าแปลก ของความที่ไม่มีอยู่ ...
- อธิบายได้ แต่ไม่อร่อย เพราะไม่มีรสชาติ
- ได้อร่อย แต่สรรหาคำอธิบายในโลกนนี้ ให้ตรงกับรสชาติไม่ได้ เพราะได้ลิ้มรสของที่ความคิดไม่รู้จัก


.... ว้ากกกกก หลุดออกไปอย่างมีหลักการจนได้
*0* งง แหลก

#31 By none on 2009-03-15 11:29

ความเศร้าเป็นสิ่งที่เราปรุ่งแต่งขึ้นมาเอง

#30 By oldme on 2009-02-05 11:21

ปวดตับเลย

#29 By 123 (202.149.25.197) on 2009-01-29 17:39

จริง ๆ แล้ว อนัตตาถ้าจะอธิบายด้วยคำพูดละก็ง่ายมาก ๆ แต่ถ้าจะให้เห็นประจักษ์ไม่ง่ายเลย ดังที่ท่านว่าไว้ว่า
"ของจริงพูดไม่ได้ พูดได้ไม่ใช่ของจริง"

#28 By mahaoath on 2008-11-25 20:35

โอ้วป้าด confused smile

#27 By Bluemoon on 2008-11-25 19:03

คิดได้ยังไง

ผมต้องกลับไปทวนเรื่อง fn และ lim ใหม่ซะแล้ว

sad smile

#26 By Krai W. on 2008-11-25 18:34

เจอคณิตศาสตร์เข้าไป

เหมือนจะเข้าใจ แต่้ไม่เข้าใจ

เหอๆ

#25 By โลกอมควัน on 2008-11-25 15:59

ชอบจัง
อ่านหลาย ๆ เรื่องแล้วรู้สึกสนุกดี
สามารถเอาสิ่งรอบ ๆ ตัวมาประยุกต์กับคณิตศาสตร์

จริง ๆ เป็นคนที่ไม่ค่อยจะรู้เรื่องทางคณิตศาสตร์เลย
เป็นวิชาที่เบื่อมาก และเรียนแย่มาก 55+

แต่ชอบอ่านสิ่งที่นำมาเสนอนะ
หลาย ๆ เรื่องใน blog นี้โดนใจมาก
เลยขออนุญาต add favorites ไว้นะ อิอิ
ขอบคุณมาก ๆ ค๊า big smile
กราฟยากไปติ๊ดนึง สำหรับคนพื้นฐานคณิตศาสตร์อ่อน

กราฟแรกยอมรับว่า ดูไม่รู้เรื่อง มาเข้าใจในกราฟที่สอง

ฉะนั้นถ้าคนอ่านกราฟไม่เก่ง มีหวังไม่เข้าใจทั้ง ๒ กราฟ

น่าจะปูความรู้ลิมิตง่าย ๆ ก่อน

confused smile

เจริญยิ่งในธรรม ฯ

#23 By Dhammasarokikku on 2008-11-25 12:20

อ่านแรกๆ ok ค่ะ เข้าใจดี แต่พอ f(4) เริ่มงง
ก่งก๊งไปซะแล้วววว

#22 By MissMikan on 2008-11-25 12:01

ขอสารภาพว่าไม่เข้าใจครับ sad smile

#21 By Googigg on 2008-11-25 11:24

จริงๆ แล้ว ผมคิดว่า คุณ Eddy อธิบาย เรื่อง ลิมิต ได้เห็นภาพชัดเจนง่ายดีนะครับ คิดว่าคงจะเหมาะกับคนที่กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วยเลยล่ะครับ

ยังไงก็ ลองตั้งใจอ่านสักนิดนะครับ

#20 By Kousuke on 2008-11-25 09:39

ล้ำลึกดีมากๆ... ถึงแม้นยากจักเข้าใจ
surprised smile Hot!

#19 By vvitch on 2008-11-25 09:18

ตัวตนที่เราคิดว่ามี... จริงๆ มันอาจไม่มี
อาจเป็นแค่สิ่งที่เรากำหนดเองเพื่ออธิบายว่ามี
เหมือนกับที่เรากำหนดลิมิตขึ้นมา

แว้ก!! งง! ตกม้าตายตอนจบ

#18 By N/A on 2008-11-25 03:54

ฉันไม่เข้าใจเลขของแกเท่าไหร่นัก แต่เหมือนจะเข้าใจว่าแกหมายถึงทำนองไหน ถ้าความเข้าใจของฉันถูกแปรผันเป็นแคลคูลัส สิ่งที่ฉันเข้าใจ ก็อาจจะไม่ใช่สิ่งที่ฉันเข้าใจก็ได้สินะเนี่ย แต่คิดว่าคงใกล้มาก ถึงจะไม่รู้ว่าใกล้แค่ไหนก็ตาม 555+

#17 By Rinna ♥ on 2008-11-25 01:46

โอ้ว คณิตธรรม

#16 By ฟิวส์ on 2008-11-25 00:07

กรุณาอย่าอธิบายเราด้วยหลักคณิตศาสตร์

เรารู้เพียงว่า "หนูดี" ไม่ได้มีอยู่จริงบนพื้นพิภพ มันเป็นเพียงนามที่ถูกสมมติขึ้นเพื่อให้เกิดการจำแนกแยกแยะ สะดวกต่อการเรียกขาน

สิ่งที่กำลังอ่านบทความ และกำลังพิมพ์คอมเมนท์อยู่นี้ เป็นเพียงสิ่งมีชีวิตหนึ่ง ที่เซลล์ทุกเซล์ในร่างกายกำลังเกิดการแตกดับสืบเนื่องติดต่อกันไปอยู่ทุกเสี้ยววินาที

ไม่มีอะไรที่จะหมายเอาเป็นตัวตนได้ มีเพียงรูปธรรม นามธรรม ยังคงชีวิตอยู่ได้ด้วยลมหายใจเข้า-ออก เพียงบางเบา

เปราะบางขนาดที่ว่าแค่ขาดลม ก็แตกลับดับขันธ์ มีแต่อนิจจังเป็นที่ตั้งเท่านั้นเอง...

#15 By ~NuDeE~ on 2008-11-24 23:02

กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่sad smile

#14 By =*MoonShiNe Ze*= on 2008-11-24 22:44

งงเต็กครับ

ว่าแต่แคลลูลัสคืออะไรหว่า sad smile

#13 By ซูโม่กิ๊ก on 2008-11-24 22:10

lim f(goatee) = Eddy
lim f(Eddy) = Hua joke
lim f(Hua joke) =/= Eddy

So, what will happen with lim f(Eddy)?

/me ผลั่ก ผลั๊วะ ผลั่ก ผลั๊วะ
ผิดไปแย้ว

#12 By Dhammasarokikku on 2008-11-24 21:47

ลิมิตเป็นอนัตตา!!!
อะไรจะเทียมเท่าความรัก มองไม่เห็น สัมผัสไม่ได้ แต่รู้สึกถึงมันเสมอ

(มาจากไหนเนี่ย sad smile)

โผล่มาปุ๊บก็ฟังก์ชั้นมาเลย ไม่รู้ วันนี้เฮียอารมณ์ไหน ออกจะเข้าใจยาก
sad smile

#10 By ire_u on 2008-11-24 21:41

เหมือนจะเข้าใจ

ใช้หลักการคณิตศาสตร์ก็เลยไม่ค่อยเข้าใจ

โง่เลขสุดๆ

#9 By patsita on 2008-11-24 21:41

อย่าเพิ่งเอาเรื่องปวดหัวมาให้ฟังเลยวันนี้ 555
งง

#8 By I [is am are] ก๋อง on 2008-11-24 21:02

งงดี

#7 By all4teen on 2008-11-24 20:59

ซึ้งในรสชาติของความเป็นอนัตตา

สาธุ~

#6 By QuarterQuartz on 2008-11-24 20:55

เข้าใจยากดีครับ แต่ก็พอจะนึกภาพตามได้พอสมควร

#5 By โก๋สิจ๊ะ on 2008-11-24 20:39

โอ้ บรรลุแล้วซึ่งทุกสิ่งจริงๆ

ถึงจะยังงงๆอยู่นิดนึงอ่ะนะ sad smile


-----------
ฟังก์ชันอีกแล้วเร้อออออออออ

#4 By ♦[oka]♦ on 2008-11-24 20:38

เข้าใจเปรียบนะ big smile

#3 By Shuu Exteen on 2008-11-24 20:33

เอ่อ ซับซ้อนเกินกว่าเด็กน้อยจะเข้าใจ

...


เอียน ฟังชั่น (เกี่ยวกันมั้ยนะ)
เอียน มากกก


เด็กโง่ ..​ไม่เข้าใจ ลิมิต ?​

#2 By aprileighth on 2008-11-24 20:30

โอ้วจริงๆด้วย

มันเป็น อนัตตา

มันไม่ใช่ปัจจุบันล้วแหะ

#1 By dong=ดอง,โด่ง on 2008-11-24 19:23