ได-Ed : Coming of ed

มะโว้ : ปิ้งกล้วยด้วยพาราโบลา

เมื่อวานมีเรื่องน่าดีใจสำหรับผมก็คือ มีน้องมัธยมเค้าแอด MSN มาขอเรื่องจาก entry  ปิ้งกล้วยด้วยพาราโบลา ไปทำเป็นโครงงานส่งอาจารย์

ในฐานะคนเรียนคณิตศาสตร์ นี่คือสิ่งที่ผมอยากให้เกิดขึ้น

ความรู้ต่างๆจะมีค่า เมื่อมีการต่อยอด และเอาไปทำให้เป็นรูปธรรมจริงๆ

หวังว่าน้องๆเหล่านั้นจะมีกล้วยปิ้งส่งอาจารย์สมความศรัทธา (HA)

,,, ,,, ,,,

เรื่องในวันนี้ เริ่มมาจาก ในขณะที่ผมกำลังนั่งติวหนังสือน้องสาวของผมที่ ม.ขอนแก่น ทันใดนั้นเอง!!! ก็มีชายคนนึงเขาตรงมาที่ผม พร้อมทั้งพูดใส่หน้าผมว่า ,,,

"พี่ฮะ ช่วยคิดโจทย์ข้อนี้ให้หน่อยฮะ" (ทุ้ย *3* เล่าซะน่าตื่นเต้น -..-)

สืบทราบมาว่าเจ้าหนุ่มนั่นเป็นเพื่อนของเพื่อนของน้องสาว (งงมะ)

โจทย์ดังกล่าว เป็นโจทย์ของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเรื่องธุรกิจครับ เป็นการวางแผนการผลิตโดยใช้สมการพหุนามดีกรีสอง หรือสมการพาราโบลา

สารภาพว่า ผมเองก็พึ่งจะฉุกคิดได้ว่า เออว่ะ โมเดลการวางแผนการผลิตมันก็ใช้พาราโบลาที่เราเรียนกันตอนมัธยมฯได้เหมือนกันนี่นา

อ่าาา ไม่ต้องก่งก๊งและตกใจ เดี๋ยวจะบรรยายความตามไท้ เสด็จยาตร ให้ฟัง ชะเอ่อ เอิง เอย

สมติว่า ผมมีสมการความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสินค้าที่ผลิตกับกำไรเป็นไปตามสมการพาราโบลาเซตามอล กินทุกๆ 4 ชั่วโมง หรือเมื่อมีไข้ ดังต่อไปนี้

f(x) = ax²+bx+c

เมื่อ f(x) แทนกำไร และ x แทนจำนวนสินค้าที่ผลิต

เราสามารถแบ่งเป็นกรณีได้ 2 กรณี ตามลักษณะของพาราโบลา

,,, ,,, ,,,

กรณีที่1 a > 0 พาราโบลาหงาย

กรณีนี้ จุดยอดของพาราโบลา จะให้ค่าต่ำสุด นั่นคือ ณ จุดยอด คือจุดที่ทำให้เราได้กำไรต่ำสุด

สำหรับจุดคุ้มทุน หรือ จุดที่กำไรเท่ากับศูนย์นั้น หาได้จากการแก้สมการ f(x) = 0 หรือพูดเป็นภาษาชาวบ้านโคกอีปริกได้ว่า "จุดตัดแกน x"

,,, ,,, ,,,

กรณีที่2 a < 0 พาราโบลาคว่ำ

สำหรับกรณีนี้ จุดยอดของพาราโบลา จะให้ค่าสูงสุด (เราจึงสามารถ เรียกจุดนี้ได้อีกชื่อว่า "จุดสุดยอด" -..-) นั่นหมายความว่า จุดยอดของพาราโบลา คือจุดที่ให้ค่ากำไรสูงสุด

ทำนองเดียวกันกับกรณีที่1 ในการหาจุดคุ้มทุนนั้น สามารถหาได้จากจุดตัดแกน x เช่นกัน

หมายเห็ด : โดยทั่วไป ในการนำไปใช้จริง สมการมักเป็นไปตามกรณีที่2

หมายเห็ด : ในการพิจารณาจำนวนการผลิตนั้น จะพิจารณาจำนวนสินค้าที่เป็นบวก หรือ x > 0 เท่านั้น (เพราะกำไรหรือขาดทุนจะเกิดขึ้นเมื่อมีการผลิตสินค้าเกิดขึ้น)

,,, ,,, ,,,

เพื่อให้เห็นภาพการนำไปใช้จริง ผมขอยกเหตุการณ์สมมติดังต่อไปนี้

ลุงขวย แกปิ้งกล้วยขาย กล้วยที่แกใช้เป็นกล้วยตานี ปลายหวีเหี่ยว น้ำไหลเชี่ยวปลายหวีหัก หิ้วหวีไป หิ้วหวีมา

ลุงขวย (สาบานได้ว่านี่ชื่อคน) แกมีปัญหาในการวางแผนการผลิตปิ้งกล้วย

เนื่องมาจากว่า บางวันผลิตน้อย ต้นทุนต่ำ แต่รายได้จากการขายก็ได้น้อยตามไปด้วย มิหนำซ้ำ บางวันขายหมดแต่คนก็ยังมาถามซื้อ ทำให้เสียโอกาสทางการค้า

แต่บางวันผลิตเยอะ รายได้จากการขายได้เยอะ แต่ต้นทุนก็สูง ดีไม่ดี ขายไม่หมด ก็เสียของกันไป

อย่างู้นอย่างี้ อย่ามางุงิเลย ลุงขวยแกจึงจ้างบริษัทที่ปรึกษาทางธุรกิจจากญี่ปุ่น ชื่อบริษัท สุโก้ย คอนซัลท์ (สาบานได้ว่านี่ชื่อบริษัท) ให้มาทำการวางแผนการผลิตให้แก

บริษัทสุโก้ย จึงส่งคนมาเก็บข้อมูลการผลิตและการขายกล้วยปิ้งของลุงขวย พร้อมทั้งดำเนินการดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 หาสมการความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนการผลิตและต้นทุนการผลิต โดยใช้ฟังก์ชันเชิงเส้น

เริ่มจากเก็บข้อมูลจำนวนการผลิตและต้นทุนในการผลิต เป็นเวลา 2 วัน

จากนั้น จากฟังก์ชันเชิงเส้นเราจะได้สมการ y_i = mx_i+k

จากข้อมูล 2 ชุด ทำให้เราได้ระบบสมการ

20 = 50m+k ---(1)

30 = 75m+k ---(2)

เมื่อแก้ระบบสมการ ทำให้เราได้ค่า m เท่ากับ 0.4 และ k เ่ท่ากับ 0

เป็นอันสรุปว่า  ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนการผลิตและต้นทุนการผลิตปิ้งกล้วยของลุงขวยเป็นไปตามสมการ

y = 0.4x

เมื่อ y แทนต้นทุน และ x แทนจำนวนปิ้งกล้วยที่ผลิต

พูดง่ายๆก็คือ ต้นทุนปิ้งกล้วยคือ 0.4 บาท ต่อลูก

,,, ,,, ,,,

ขั้นตอนที่ 2 หาสมการความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนการผลิตและรายได้จากการขาย โดยใช้ฟังก์ชันพาราโบลา

เริ่มจากเก็บข้อมูลเช่นกัน แต่คราวนี้ จะเก็บข้อมูลเป็นเวลา 3 วัน

จากฟังก์ชันพาราโบลาเราจะได้สมการ y_i = ax_i²+bx+c

จากข้อมูล 3 ชุด ทำให้เราได้ระบบสมการ

30 = 2500a+50b+c ------(1)

45 = 5625a+75b+c ------(2)

55 = 10000a+100b+c ---(3)

เมื่อแก้ระบบสมการ เราจะได้ค่า a, b และ c เท่ากับ -0.004, 1.1 และ -15 ตามลำดับ

ด้วยเหตุนี้  ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนการผลิตและรายได้จากการขายปิ้งกล้วยของลุงขวยเป็นไปตามสมการ

y = -0.004x²+1.1x-15

เมื่อ y แทนรายได้จากการขาย และ x แทนจำนวนปิ้งกล้วยที่ผลิต 

,,, ,,, ,,,

โปรดฟังอีกครั้งหนึ่ง

ต้นทุน :  0.4x

รายได้จากการขาย :  -0.004x²+1.1x-15

จากกฎของสากลโลกที่ว่า กำไร =  รายได้จากการขาย - ต้นทุน

เราก็จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนการผลิตและกำไรจากการขายเป็นฟังก์ชันพาราโบลา ดังนี้นะฮ้า

f(x) = ( -0.004x²+1.1x-15) - (0.4x)

จัดรูปสวยๆซักกะนิดโหย๋ว์ ชิทโหย์ว์

f(x) = -0.004x²+0.7x-15

เมื่อ f(x) แทนกำไร และ x แทนจำนวนปิ้งกล้วยที่ผลิต 

นี่คือสมการบ่งบอกกำไรของปิ้งกล้วยลุงขวย ซึ่งเป็นสมการพาราโบลาแบบคว่ำเช้าคว่ำค่ำ โดยจุดยอดจะเป็นจุดที่ให้กำไรสูงสุด

เมื่อคำนวณหาจุดยอดจากสมการ เราจะได้จุดยอดคือ จุด(87.5, 15.625) แปลเป็นภาษาคนว่า เมื่อลุงขวยปิ้งกล้วยเป็นจำนวน 87.5 ลูก จะทำให้ลุงขวยได้รับกำไรสูงสุดเป็นเงิน 15.625 บาท

สำหรับจุดคุ้มทุนหรือจุดตัดแกน x นั้น คำนวณออกมาแล้วได้ 2จุดก็คือ x เท่ากับ 25 และ x เท่ากับ 150 แปลเป็นภาษาคนว่า ถ้าลุงขวยไม่อยากขาดทุน ลุงขวยจะต้องปิ้งกล้วยอยู่ระหว่าง 25 ลูก ไปจนถึง 150 ลูก (แต่จะให้ดี ควรเลือกจำนวน 87.5 ลูก เพราะทำให้ได้กำไรสูงสุด)

แต่ถ้าลุงขวยไม่ฟัง อยากอินดี้เพื่อชีวิต ปิ้งกล้วยน้อยกว่า 25 ลูก หรือมากกว่า 150 ลูก เมื่อไหร่ ลุงขวยก็จะขาดทุน (เพราะเป็นช่วงที่กำไรติดลบ) สมใจศรัทธาทันที

,,, ,,, ,,,

ข้อเสนอแนะ

1.ในการแก้ระบบสมการอาจใช้เมทริกซ์เข้ามาช่วย

2.ในบทความนี้เป็นการสร้างสมการความสัมพันธ์อย่างง่ายจากข้อมูลเพียง 2 และ 3 ชุดตามลำดับ เนื่องจากต้องการใช้ความรู้จำกัดอยู่ในระดับมัธยมเท่านั้น (ปัญหาที่ตามมาคือ ความแม่นยำอาจจะมีไม่มากเท่าที่ควร) ,,, ในระดับที่สูงขึ้นไป เราอาจจะใช้วิธีการสร้างสมการความสัมพันธ์ที่มีความซับซ้อนขึ้นและแม่นยำยิ่งขึ้น (อ่านต่อที่ least squres และ polynomial interpolation)