ได-Ed : Coming of ed

สมมตินะครับสมมติ

สมมติว่าผมอยากอมฮอลล์มาก แต่เผอิญว่าไม่มีกะตังค์ ผมจึงไปยืมเงิน 1 บาทกับนายทุนหน้าเลือด โดยคิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี เพื่อเอามาซื้อฮอลล์อมเล่น

สมมติอีกว่า ผมพลาด ไม่ดูสัญญาให้ดี โดยในสัญญาระบุว่า จะคิดดอกเบี้ยกี่ครั้งก็ได้ภายใน 1 ปี

ตายล่ะวางานนี้!!

มาดูซิว่า ผมจะหมดตูดเพราะการยืมเงิน 1 บาทในครั้งนี้หรือไม่

ตอนอยู่ ม.4 จำได้ไหมเอ่ย สูตรการคิดเงินดอกเบี้ยทบต้นใน1ปี สูตรว่าจะใด?

เฉลยๆ

เงินที่ต้องจ่าย = เงินต้น(1+อัตราดอกเบี้ยต่อปี/จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย)^{จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย}

จากการสมมติ เงินต้นก็คือ 1 บาท

อัตตราดอกเบี้ยก็คือ 100% = 100/100 = 1

จำนวนครั้ง = ตามใจเจ้าหนี้ TwT)

หมายความว่า ผมต้องจ่ายเงินตามสูตรนี้

เงินที่ต้องจ่าย = (1+1/จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย)^{จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย}

สมมติเจ้าหนี้ใจดี คิดดอกเบี้ยแค่ครั้งเดียวผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/1)¹ บาท

สมมติเจ้าหนี้เริ่มเขี้ยว คิดดอกเบี้ย 2 ครั้ง ผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/2)² บาท

และถ้าสมมติว่า้เจ้าหนี้โคตรเขี้ยว คิดดอกเบี้ย 365 ครั้ง  (คิดวันละครั้งกันเลยทีเดียว) ผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/365)³⁶⁵ บาท 

แต่เชื่อไหมครับว่า ต่อให้เจ้าหนี้มันเขี้ยวขนาดไหน คิดดอกผมแบบนับครั้งไม่ถ้วน หรือเป็นอินฟินิตี้ มันก้ได้เงินผมไปไม่เกิน 3 บาท!!!!!!!!!!!!!!

,,, ,,, ,,,

นี่คือสิ่งที่ผมจะพูดถึงในวันนี้นั่นเองครับ

ถ้าผมให้ x เป็นจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยใน 1 ปี เงินที่ผมต้องจ่ายก็คือ

(1+1/x)^x

เกิดอะไรขึ้น? ถ้า x มีค่ามหาศาลเป็นอินฟินิตี้?

จาคอบ แบร์นูลลี (ไม่ใช่ แบน-นูน-รี นะเออ -*-)  นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ให้คำตอบนี้กับเราไว้แล้ว เมื่อ 300 กว่าปีก่อนว่า "ถ้า x มันมีค่าใหญ่คอดๆ (1+1/x)^x ก็จะมีค่าเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งไม่ค่าไม่เกิน 3"

ต่อมา เป็นทราบกันดีในวงการคณิตศาสตร์ว่า ค่าที่แบร์นูลลีพูดถึงนั้นมีค่าประมาณ 2.718 กว่าๆ

เป็นไงล่ะ เจ้าหนี้หน้าเลือด ฮี่ๆ

สุดท้าย มันก็เอาเิงินผมไปได้ไม่เกิน 11 สลึงแค่นั้นเอง ยิปปี้

ในเวลาต่อมา เลนาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์คนบ้านเดียวกันกับแบร์นูลลีจึงตั้งชื่อเลขตัวนี้ให้เรียกง่ายๆว่า "e"

ใช่แล้วครับ

e นี่แหละ

e ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7 กว่า กลายเป็นเลขอตรรกยะอันทรงพลังต่อจากค่าพาย และค่าฟี ซึ่งถูกค้นพบก่อนหน้านับพันๆปี

แต่ค่า e ก็ไม่ได้มีความสำคัญน้อยหน้าค่าพายหรือค่าฟีเลย

ค่า e ได้ไปเสนอหน้าอยู่ในวงการคณิตศาสตร์มากมายหลายครั้ง โดยเฉพาะในสาขาแคลคูลัส ค่า e ถือว่าเป็นค่าที่แปลกประหลาดและมีเสน่ห์นักแคลคูลัสทุกคนต้องปลุกปล้ำอยู่กับมัน

ตัวอย่างความเท่ของ e เช่น

• ไม่ว่าเราจะดิฟ หรืออินทิเกรต ฟังก์ชัน e^x มันก็ยังคงได้ e^xเหมือนเดิม (ด้วยเหตุนี้ขี้หมูขี้หมา คนเรียนแคลคูลัสจะจำสูตรนี้ได้)
• 1+1/1+1/4+1/6+1/24+...+1/n!+...ทั้งๆที่เป็นการบวกของจำนวนตรรกยะ(เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้) แต่ผลบวกกลับกลายเป็น ค่าำ eซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ(เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้)
• ในระบบจำนวนเชิงซ้อน เรามีสูตร e^ix = cosx+isinx ซึ่งเรียกว่าสูตรของออยเลอร์
• จากข้อที่แล้ว e^iPI = cosPI+isinPI = -1+i(0) = -1 หรือ ,,,
  
• e^iPI+1 = 0 ซึ่งสมการนี้ ว่ากันว่า เป็นสมการที่งดงามยิ่งนัก (งามตรงไหนวะ -..-) เพราะได้รวมเอา ค่าสำคัญทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ค่าe, i (จำนวนจินตภาพ), PI (ค่าพาย), 1(เอกลักษณ์การคูณ), 0(เอกลักษณ์การบวก) รวมทั้ง การดำเนินการที่สำคัญได้แก่ การบวก, การคูณ, และการยกกำลัง ก็ปรากฏอยู่ในสมการนี้ สุดท้าย ถ้าหากเรานับรวมสมการความเท่ากัน(เครื่องหมายเท่ากับ) สมการสั้นๆและขยันซอยสมการนี้ ก็จะรวมเอาสิ่งของในคณิตศาสตร์ถึง 9 ชิ้น มารวมไว้เลยทีเดียวเจียว Orzzzzz

สำหรับการประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงนั้น เนื่องจากว่า ค่าe มีอิทธิพลสำคัญต่อวิชาแคลคูลัส ดังนั้น งานด้านวิกรรมหลายๆงานก็จำเป็นจะต้องดึงค่า e ไปใช้ในการแก้ปัญหา

นอกจากนี้ ว่ากันว่า ในระบบคอมพิวเตอร์นั้น ตัวเลขที่สามารถทำงานกับระบบได้ดีที่สุด คือเลขฐาน e แต่เนื่องจากปัญหาในการสร้างระบบให้สอดคล้องกับวงจรไฟฟ้า จึงต้องใช้ฐาน 2ซึ่งมีค่าใกล้เคียงฐาน e แทน

ยัง ยังไม่พอ!

จากตัวอย่างเปิดเรื่องของวันนี้ ก็จะเห็นว่า ค่า e นั้น สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับเรื่องเงินๆทองๆ จึงไม่แปลกถ้าในวงการธนาคารเราจะได้ยินตัวเลขซึ่งมีต่าประหลาดๆค่านี้ โผล่ขึ้นมา

ทิ้งท้ายเรื่องนี้กับที่มาของชื่อของค่า e

หลายๆคน อาจจะสงสัยว่า ทำไมต้อง e ด้วย?

เพราะออยเลอร์(Euler)ตั้งรึปล่าว ก็เลยใช้อักษรแรกของชื่อตัวเองตั้ง?

คำตอบ คือ ไม่ใช่จ้ะ

เรื่องมันก็แค่ว่า ออยเลอร์อยากใช้สระในภาษาโรมันตั้ง (อาจจะเพื่อความสะดวกหรือเพื่อให้จำง่าย) แต่ตอนนั้น ตัว a ถูกใช้แทนค่าอื่นไปแล้ว หวยจึงมาตกอยู่ที่ตัว e อย่างที่เราเห็นนี่แหละจ้ะ 

(เลนาร์ด ออยเลอร์)

,,, ,,, ,,,

อ่านเพิ่มเติม : vcharkarn.com/varticle/316

ความเดิมตอนที่แล้ว :

• "อัตราส่วนทองคำ" ตัวเลขเต้พบร๊ะเจ้า
• พายจ้ำพาย