eนี่นิ่

posted on 25 Jan 2009 21:17 by watchi in appliED-Math

สมมตินะครับสมมติ

สมมติว่าผมอยากอมฮอลล์มาก แต่เผอิญว่าไม่มีกะตังค์ ผมจึงไปยืมเงิน 1 บาทกับนายทุนหน้าเลือด โดยคิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี เพื่อเอามาซื้อฮอลล์อมเล่น

สมมติอีกว่า ผมพลาด ไม่ดูสัญญาให้ดี โดยในสัญญาระบุว่า จะคิดดอกเบี้ยกี่ครั้งก็ได้ภายใน 1 ปี

ตายล่ะวางานนี้!!

มาดูซิว่า ผมจะหมดตูดเพราะการยืมเงิน 1 บาทในครั้งนี้หรือไม่

ตอนอยู่ ม.4 จำได้ไหมเอ่ย สูตรการคิดเงินดอกเบี้ยทบต้นใน1ปี สูตรว่าจะใด?

เฉลยๆ

เงินที่ต้องจ่าย = เงินต้น(1+อัตราดอกเบี้ยต่อปี/จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย)จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย

จากการสมมติ เงินต้นก็คือ 1 บาท

อัตตราดอกเบี้ยก็คือ 100% = 100/100 = 1

จำนวนครั้ง = ตามใจเจ้าหนี้ TwT)

หมายความว่า ผมต้องจ่ายเงินตามสูตรนี้

เงินที่ต้องจ่าย = (1+1/จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย)จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย

สมมติเจ้าหนี้ใจดี คิดดอกเบี้ยแค่ครั้งเดียวผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/1)1 บาท

สมมติเจ้าหนี้เริ่มเขี้ยว คิดดอกเบี้ย 2 ครั้ง ผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/2)2 บาท

และถ้าสมมติว่า้เจ้าหนี้โคตรเขี้ยว คิดดอกเบี้ย 365 ครั้ง  (คิดวันละครั้งกันเลยทีเดียว) ผมก็จะต้องจ่ายเงิน

(1+1/365)365 บาท 

แต่เชื่อไหมครับว่า ต่อให้เจ้าหนี้มันเขี้ยวขนาดไหน คิดดอกผมแบบนับครั้งไม่ถ้วน หรือเป็นอินฟินิตี้ มันก้ได้เงินผมไปไม่เกิน 3 บาท!!!!!!!!!!!!!!

,,, ,,, ,,,

นี่คือสิ่งที่ผมจะพูดถึงในวันนี้นั่นเองครับ

ถ้าผมให้ x เป็นจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยใน 1 ปี เงินที่ผมต้องจ่ายก็คือ

(1+1/x)x

เกิดอะไรขึ้น? ถ้า x มีค่ามหาศาลเป็นอินฟินิตี้?

จาคอบ แบร์นูลลี (ไม่ใช่ แบน-นูน-รี นะเออ -*-)  นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ให้คำตอบนี้กับเราไว้แล้ว เมื่อ 300 กว่าปีก่อนว่า "ถ้า x มันมีค่าใหญ่คอดๆ (1+1/x)x ก็จะมีค่าเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งไม่ค่าไม่เกิน 3"

ต่อมา เป็นทราบกันดีในวงการคณิตศาสตร์ว่า ค่าที่แบร์นูลลีพูดถึงนั้นมีค่าประมาณ 2.718 กว่าๆ

เป็นไงล่ะ เจ้าหนี้หน้าเลือด ฮี่ๆ

สุดท้าย มันก็เอาเิงินผมไปได้ไม่เกิน 11 สลึงแค่นั้นเอง ยิปปี้

ในเวลาต่อมา เลนาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์คนบ้านเดียวกันกับแบร์นูลลีจึงตั้งชื่อเลขตัวนี้ให้เรียกง่ายๆว่า "e"

ใช่แล้วครับ

e นี่แหละ

e ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7 กว่า กลายเป็นเลขอตรรกยะอันทรงพลังต่อจากค่าพาย และค่าฟี ซึ่งถูกค้นพบก่อนหน้านับพันๆปี

แต่ค่า e ก็ไม่ได้มีความสำคัญน้อยหน้าค่าพายหรือค่าฟีเลย

ค่า e ได้ไปเสนอหน้าอยู่ในวงการคณิตศาสตร์มากมายหลายครั้ง โดยเฉพาะในสาขาแคลคูลัส ค่า e ถือว่าเป็นค่าที่แปลกประหลาดและมีเสน่ห์นักแคลคูลัสทุกคนต้องปลุกปล้ำอยู่กับมัน

ตัวอย่างความเท่ของ e เช่น

  • ไม่ว่าเราจะดิฟ หรืออินทิเกรต ฟังก์ชัน ex มันก็ยังคงได้ exเหมือนเดิม (ด้วยเหตุนี้ขี้หมูขี้หมา คนเรียนแคลคูลัสจะจำสูตรนี้ได้)
  • 1+1/1+1/4+1/6+1/24+...+1/n!+...ทั้งๆที่เป็นการบวกของจำนวนตรรกยะ(เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้) แต่ผลบวกกลับกลายเป็น ค่าำ eซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ(เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้)
  • ในระบบจำนวนเชิงซ้อน เรามีสูตร eix = cosx+isinx ซึ่งเรียกว่าสูตรของออยเลอร์
  • จากข้อที่แล้ว eiPI = cosPI+isinPI = -1+i(0) = -1 หรือ ,,,
  • eiPI+1 = 0 ซึ่งสมการนี้ ว่ากันว่า เป็นสมการที่งดงามยิ่งนัก (งามตรงไหนวะ -..-) เพราะได้รวมเอา ค่าสำคัญทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ค่าe, i (จำนวนจินตภาพ), PI (ค่าพาย), 1(เอกลักษณ์การคูณ), 0(เอกลักษณ์การบวก) รวมทั้ง การดำเนินการที่สำคัญได้แก่ การบวก, การคูณ, และการยกกำลัง ก็ปรากฏอยู่ในสมการนี้ สุดท้าย ถ้าหากเรานับรวมสมการความเท่ากัน(เครื่องหมายเท่ากับ) สมการสั้นๆและขยันซอยสมการนี้ ก็จะรวมเอาสิ่งของในคณิตศาสตร์ถึง 9 ชิ้น มารวมไว้เลยทีเดียวเจียว Orzzzzz

สำหรับการประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงนั้น เนื่องจากว่า ค่าe มีอิทธิพลสำคัญต่อวิชาแคลคูลัส ดังนั้น งานด้านวิกรรมหลายๆงานก็จำเป็นจะต้องดึงค่า e ไปใช้ในการแก้ปัญหา

นอกจากนี้ ว่ากันว่า ในระบบคอมพิวเตอร์นั้น ตัวเลขที่สามารถทำงานกับระบบได้ดีที่สุด คือเลขฐาน e แต่เนื่องจากปัญหาในการสร้างระบบให้สอดคล้องกับวงจรไฟฟ้า จึงต้องใช้ฐาน 2ซึ่งมีค่าใกล้เคียงฐาน e แทน

ยัง ยังไม่พอ!

จากตัวอย่างเปิดเรื่องของวันนี้ ก็จะเห็นว่า ค่า e นั้น สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับเรื่องเงินๆทองๆ จึงไม่แปลกถ้าในวงการธนาคารเราจะได้ยินตัวเลขซึ่งมีต่าประหลาดๆค่านี้ โผล่ขึ้นมา

ทิ้งท้ายเรื่องนี้กับที่มาของชื่อของค่า e

หลายๆคน อาจจะสงสัยว่า ทำไมต้อง e ด้วย?

เพราะออยเลอร์(Euler)ตั้งรึปล่าว ก็เลยใช้อักษรแรกของชื่อตัวเองตั้ง?

คำตอบ คือ ไม่ใช่จ้ะ

เรื่องมันก็แค่ว่า ออยเลอร์อยากใช้สระในภาษาโรมันตั้ง (อาจจะเพื่อความสะดวกหรือเพื่อให้จำง่าย) แต่ตอนนั้น ตัว a ถูกใช้แทนค่าอื่นไปแล้ว หวยจึงมาตกอยู่ที่ตัว e อย่างที่เราเห็นนี่แหละจ้ะ 


(เลนาร์ด ออยเลอร์)

,,, ,,, ,,,

อ่านเพิ่มเติม : vcharkarn.com/varticle/316

ความเดิมตอนที่แล้ว :

Comment

Comment:

Tweet

eix = cosx+isinx
อันนี้ผมเพิ่งไปเจอในแคลสามมา ตอนเรียนสมการไม่เอกพันธุ์(รึเปล่าหว่า คุ้นๆๆ)

#31 By tce792 on 2009-08-06 00:52

อั่กกกกกกก

สมการที่งดงามมม แต่คนใช้จะงอมเอานะเออ

#30 By Yoyo :) on 2009-03-17 15:48

เลขเทพบร๊ะเจ้ามาอีกแล้ว
#27 By [ นู๋ ห น อ น ]
ถูกต้องนะคร้าบบบ

#28 By Eddy on 2009-01-26 16:32

เคยเจอ ln x = log x ฐาน e

ใช่ตัวเดียวกันมะหว่า sad smile

ผ่านไปปีเดียว ลืมไปและ 555

#27 By [ นุ้ ง ห น อ น ] on 2009-01-26 16:26

มิน่า ตอนเรียนปี ๑ ถึงได้ F วิชาแคลคูลัส ๑
เพราะ eนี่นี่เอง
ว่าแล้วก็เรียนเรื่องจิตต่อไปดีกว่า คงไม่เอาดีทางเลขละนะ

#26 By mahaoath on 2009-01-26 16:10

e นี่ จำ ยาก ชิ หัย เลย นาย จ๋า...

#25 By ppao on 2009-01-26 13:32

มึนนsad smile

#24 By iQ180 on 2009-01-26 13:15

เปลี่ยนไปอมโอเล่ดีกว่าbig smile
เจ้าหนี้ต้องไม่รู้จักทฤษฏีนี้แน่ๆ เลย open-mounthed smile

#22 By Googigg on 2009-01-26 11:17

แต่ความจริงมันไม่ใช่ใช่ไหมพี่เอ็ด
แบบดอกเบี้ยร้อยละร้อย คิดดอกเี้บี้ยทุกวัน
จะเท่าไหร่ เราก็ต้องจ่ายเท่าที่มันอยากได้ป่ะ

sad smile

#21 By iDoi* on 2009-01-26 09:51

นึกถึง .. เรื่องอะไรแล้วหว่า

ให้ค้นไม้ 1 เมตรสูงครึ่งหนึ่งทุกๆ 1 ปี
100 ปีมันจะสูงเท่าไร 55

เหมือนจะเยอะเนอะ ^-^'
โฮ ผมเกลียดอีนี่!! มันทำผมเกรดตก

#18 By -----ROGER----- on 2009-01-26 08:25

embarrassed embarrassed embarrassed

#17 By Pink clouds on 2009-01-26 07:58



ผมทิ้งไปหมดแล้ว

จะไปอ่านหนังสือใหม่เพื่อการไปขอนแก่นแล้วเนี้ยครับcry

#16 By dong=ดอง,โด่ง on 2009-01-26 07:33

Eddy : "ตอนอยู่ ม.4 จำได้ไหมเอ่ย สูตรการคิดเงินดอกเบี้ยทบต้นใน1ปี สูตรว่าจะใด?"

Lumi: "....

ปล่อยให้ไหลไป
Bm A DC#dim7 F#

ให้ลอยลงสู่ทะเล ให้หายไป G A

ให้มันอย่าคืนย้อนมา
D C#dim7 Bm A D C#dim7

ทิ้งไป เพราะรักนั้นทำกับเรา ให้เสียใจ G Em

ให้ลอยไปใกล ให้ไปไกลๆ
C#dim7 G F# Bm

ไม่มีอะไรต้องเหลือ ทิ้งแล้วทุกอย่าง
Instru : Bm Em/Bm Em/Bm Em/Bm "

#15 By chimerateddy on 2009-01-26 06:08

มึนอ่ะ มึนเข้าเรื่องเลข อ่านแล้วแต่ลายเลย

#14 By Glinda The Good on 2009-01-26 02:33

ที่มาของชื่อของค่า e ...
Hot! Hot!

#13 By fueyZ on 2009-01-26 02:04

เค้าก็ต้องจำไปใช้ด้วยใช่มั้ยเีนี่ย แต่ยังไม่ค่อยเข้าจาย T^T

#12 By AelitaX on 2009-01-26 02:02

=''=
เหมือนจะเคยเรียน

#11 By Shuu Exteen on 2009-01-26 00:36

เพิ่งรู้ที่มา

^
^
หลวงพี่ยังเอาไปพ้องกันได้อีก sad smile
Hot!

#10 By นักรบ on 2009-01-26 00:13

เราท่องแต่ x+y=z ใช้ทำงานได้แล้ว

ว่าแต่หาไอเดียอัพบล๊อคมาจากไหนหรือ??

Hot!

#9 By ไม่มี © on 2009-01-26 00:12

ยืมตอนฮอลล์ราคา 1 บาท พอเวลาผ่านไปฮอลล์ราคา 3 บาทก็เอาฮอลล์ 1 เม็ดไปคืนเหมือนเดิมได้สินะ confused smile

#8 By talalan on 2009-01-25 23:59

Boooooooommmmmmmm!!
สมองระเบิดควันขึ้นแตกกระจาย
มาตายตรง "ความเท่ของ e" เนี่ยละ

eนี่นี่ แน่จริงจริง

sad smile
*0*

งั้นเวลาจะยืมเงินใครให้ยืมคนละบาท

เหอๆ

#6 By [ พี โพ แคน ] on 2009-01-25 23:47

สุดยอดเลยค่ะ

ไว้ลองเอาไปถามเพื่อนเล่นๆดีกว่า confused smile

#5 By Prae on 2009-01-25 23:43

สมการอีกำลังไอ แค๊ก ๆ เป็นพายไก่ บวกหนึ่ง เท่ากับสูญสลายเป็นอนัตตา ช่างเป็นสมการที่มหัศจรรย์ไม่เคยเห็นมาก่อน

Hot!

แหล่มขั้นเทพ

เจริญยิ่งในสติปัฏฐาน ฯ

#4 By Dhammasarokikku on 2009-01-25 23:39

ชื่อเอนทรี่หยาบคายยยยย open-mounthed smile

#3 By Bluemoon on 2009-01-25 23:21

จบแล้ว!
จำนวนอตรรกยะที่สำคัญ 3 จำนวน

#2 By Eddy on 2009-01-25 23:12

จำไปใช้ค่ะ ใกล้สอบแล้ว เอิ๊กๆๆ

#1 By timo on 2009-01-25 23:00