ได-Ed : Coming of ed

ก่อนที่จะพูดถึงอนุพันธ์ อยากจะขอพูดถึงสิ่งที่เรียกว่า "ความเปลี่ยนแปลง"

เปลี่ยนแปลงนั้นหมายถึง ต่างไปจากสภาวะเดิม (ไม่รู้ว่าจำเป็นต้องอธิบายขยายความหรือเปล่า เพราะทุกคนน่าจะรู้ดีโดยไม่ต้องนิยามให้เมื่อยว่า "ความเปลี่ยนแปลง" หมายถึงอะไร)

หากจะพูดถึงความเปลี่ยนแปลงแล้ว สิ่งหนึ่งที่เราจะต้องทำการตกลงกันก่อนคือ ความเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น เราเปรียบเทียบอะไร กับอะไร

ถ้าเรานั่งไปบนรถ แล้วรถวิ่งไปบนถนนด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ,,,

ระยะทางของรถที่วิ่งจากจุดเริ่มต้นก็จะเปลี่ยนไปตามเวลาที่ผ่านไป ,,,

พิกัดของรถเมื่อเทียบกับถนน(อันที่จริง พื้นโลก) ก็จะเปลี่ยนไปตามเวลา ,,,

แน่นอน พิกัดของตูดเราเมื่อเทียบกับพื้นโลก ก็จะเปลี่ยนไปตามเวลา เช่นกัน ,,,

แต่ในขณะเดียวกัน พิกัดของตูดเรา กลับไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเทียบกับเบาะรถที่เรานั่ง ถ้าตราบใดที่เราไม่ขยับไปทางซ้ายพร้อมเอียงตูดเป็นมุม 30 องศา เพื่อผายลม

,,, ,,, ,,,

ทีนี้ ถ้ารถอีกคันหนึ่ง วิ่งจากจุดเริ่มต้น ไปยังจุดหมายปลายทาง เป็นระยะทาง 50 กิโลเมตร โดยใช้เวลา 1 ชั่วโมง เราก็พอจะสรุปได้ว่า รถคันนี้วิ่งด้วยความเร็วเฉลี่ย 50กม./ชม. ??? (ความเร็วคือ การเปลี่ยนแปลงของระยะทาง เมื่อเทียบกับเวลา)

แต่ถ้าถามจำเพาะเจาะจงไปว่า ,,,

รถคันนี้วิ่งด้วยอััตราความเร็วเท่าไหร่ ณ นาทีที่ 30 กับอีก 5 วินาที

ใครกล้าเอาขนในร่มผ้ารับประกันบ้างว่า ณ นาทีที่ 30 กับอีก 5 วินาที รถจะวิ่งด้วยความเร็ว 50 กม./ชม.

,,, ,,, ,,,

โลกนี้ล้วนแต่อนิจจัง ความเปลี่ยนแปลงสามารถเกิดขึ้นในบัดดล ในเพียงแค่ชั่วกลิ่นตดของเป็ด

การพิจารณาความเปลี่ยนแปลงจากช่วงกว้างๆ จึงไม่เพียงพอสำหรับเรา

,,, ,,, ,,,

ยกตัวอย่างง่ายๆ

ทำไมเราต้องมีเข็มวัดบอกความเร็ว (การเปลี่ยนแปลงของระยะทางเมื่อเทียบกับเวลา) ในขณะขับรถ

เคยตั้งคำถามไหมว่า ทำไมเราไม่ถึงที่หมายแล้วก็ให้เครื่องจักรคำนวณระยะทางหารด้วยเวลา แล้วก็บอกเราว่า ที่เราขับมาจากจุดเริ่มต้นเมื่อสักครู่ โดยเฉลี่ยแล้ว ความเร็วเป็นเท่าไหร่

แต่ ทุกคนก็คงบอกผมได้ทันที่ว่า แล้วอย่างนั้น มันจะมีประโยชน์ด๋อยอะไรล่ะ?

เราจำเป็นต้องรู้ความเร็ว ณ บัดนาว ในวินาทีนั้น เดี๋ยวนั้น เพื่อเตือนให้รู้ว่า เราขับรถเร็วมากน้อยเพียงใด ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการขับขี่รถอย่างปลอดภัย

การพิจารณาความเปลี่ยนแปลง เพื่อหาความเร็ว จึงต้องพิจารณาเอาจากช่วงเวลาแคบที่สุด เท่าที่จะเป็นไปได้

นี่แหละ คือที่มาของคำว่า "อนุพันธ์" หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงในช่วงเล็กๆ แคบๆ สั้นๆ

(อนุ = เล็ก ,,, พันธ์ = สัมพันธ์)

พูดง่ายๆ อนุพันธ์ คือ เราจะพิจารณาความเปลี่ยนแปลง ของสิ่งหนึ่งที่สัมพันธ์กับอีกสิ่งหนึ่ง ในช่วงแคบๆ หรือแทบจะเรียกว่า ปุบปับ ณ บัดนาว นั่นเอง

(ดังเช่นตัวอย่าง อนุพันธ์ของระยะทาง เมื่อ เทียบกับเวลา คือ การเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ในช่วงเวลาเสี้ยววินาที หรือ ความเร็ว ณ ขณะเวลาต่างๆ นั่นเอง)

,,, ,,, ,,,

หันมามองดูตัวเรา

ไม่ว่าจะรู้จัก อนุพันธ์ และ แคลคูลัส หรือไม่

แต่สิ่งหนึ่งที่ทุกคปฏิเสธไม่ได้คือ

ความเปลี่ยนแปลง อยู่คู่กับตัวเรา ณ ขณะทุกวินาที

ลองมองดูที่สะดือของเราสิ  แล้วเอานิ้วจิ้มมันลงไป ณ วินาทีนี้ ขณะนี้ สะดือที่เราจิ้มอยู่ มันก็เป็นคนละสะดือกับที่เรามองเมื่อกี๊ เพราะเวลามันได้เปลี่ยนไปแล้ว เมื่อเราจิ้มลงไป

เราไม่สามารถที่จะหยุดเวลาที่ไหลผ่านไปดุจสายเยี่ยวอันเชี่ยวกราดได้

ของทุกอย่างจึงล้วนแล้วแต่มีอนุพันธ์ เมื่อเทียบกับเวลา

ตัวเราที่ดิ้นด๊อกแด๊กอยู่ ณ วินาทีนี้ เมื่ออ่านข้อความนี้จบ มันก็เป็นคนละตัวกับตอนที่เริ่มอ่านข้อความนี้แล้ว

ไม่ว่าจะตั้งใจหรือไม่ตั้งใจก็แล้วแต่

เพราะมนุษย์เล็งเห็นฤทธานุภาพของความเป็นอนิจจัง มนุษย์จึงต้องสร้างอนุพันธ์ขึ้นมาอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้นอย่างปุบปับ และพยามที่จะควบคุมมันเท่าที่จะทำได้ ทั้งที่ทำสำเร็จ และไม่สำเร็จ ,,, ก็ตาม